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SERIE
POSITIVA |
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Sea |
a1 + a2 + a3 +· ··· + an |
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an |
con |
an >= 0 |
V n€N |
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TEOREMA de CONVERGENCIA |
(condición necesaria de convergencia) |
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an converge a S, an siempre converge a 0, pero
lo contrario no siempre es cierto |
converge , an siempre converge a 0, pero
lo contrario no siempre es cierto. |
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Si |
an |
es monótona decreciente y |
lim |
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an no siempre converge. |
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CRITERIO de DIVERGENCIA |
(condición suficiente de divergencia) |
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| Si an no converge o converge a un valor diferente de 0 implica que |
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an |
(diverge) |
| Ejemplos: |
Estudiar el carácter de la convergencia de las
siguientes series. |
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n |
(infinito, diverge) |
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(n-1) / (n2+n-3) |
(lim an=0, no se sabe) |
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(-1)n |
(no existe, diverge) |
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PROPIEDADES de SERIES
convergentes |
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an |
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bn |
convergen: |
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k |
an |
= |
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an |
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converge |
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| Ejemplos: |
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an |
± |
bn |
= |
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an |
|
|
bn |
converge |
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| 1) |
| Estudiar el carácter de la serie para: |
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an |
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3/n(n+1) - 1/2n |
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an |
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1/n(n+1) |
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1/2n |
= |
telescópica - geométrica |
(las dos convergen) |
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1er CRITERIO de COMPARACIÓN |
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Sea |
an |
<= |
bn |
entonces: |
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bn |
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an |
converge |
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| Ejemplos: |
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an |
|
|
bn |
diverge |
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| 1) |
| Estudiar el carácter de la serie para: |
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an |
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[2+sen3(n+1)] / (2n+n2) |
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an |
<= |
3 / 2n |
; |
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|
an |
<= |
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|
1 / 2n |
(converge) |
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2o CRITERIO de COMPARACIÓN |
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Si |
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lim |
an/bn |
= |
L |
converge: |
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an |
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bn |
convergen o
divergen a la vez |
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Se aplica a cocientes de polinomios. |
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Se usa como bn una serie armónica,
intentando igualar los grados de los dos polinomios.. |
| Ejemplos: |
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| 1) |
| Estudiar el carácter de la serie para: |
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an |
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(3n -1) / (n3-5n+2) |
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lim |
an |
= |
0 |
(no sabemos si converge) |
; |
Si |
bn |
= |
1/n2 |
(serie armónica convergente) |
|
lim |
an/bn |
= |
3 |
(puedo aplicar el 2º criterio de comparación) |
(converge) |
| 2) |
| Estudiar el carácter de la serie para: |
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an |
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|
1 / 3√(n2+1) |
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lim |
an |
= |
0 |
(no sabemos si converge) |
; |
Si |
bn |
= |
1/n2/3 |
(serie armónica divergente) |
|
|
lim |
an/bn |
= |
1 |
(puedo aplicar el 2º criterio de comparación) |
(diverge) |
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CRITERIO del COCIENTE o
de D'ALAMBERT |
Si |
L < 1 |
|
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an |
converge |
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Si |
lim |
an+1/an |
= |
L |
(converge) |
|
Si |
L = 1 |
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|
an |
no se sabe |
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|
Se aplica a potencias y factoriales. |
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Si |
L > 1 |
|
|
an |
diverge |
|
| Ejemplos: |
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| 1) |
| Estudiar el carácter de la serie para: |
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an |
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1 / n! |
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lim |
an+1/an = |
lim |
n! / (n+1)! |
= |
lim |
1 / (n+1) |
= |
0 < 1 |
(converge) |
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| 2) |
| Estudiar el carácter de la serie para: |
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an |
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|
(5n-2)!
/ 43n |
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lim |
an+1/an = |
lim |
[5(n+1)-2] / 43 = |
lim |
(5n+3) / 43 = |
infinito |
(diverge) |
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CRITERIO de LA RAIZ o de
CAUCHY |
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Si |
L < 1 |
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|
an |
converge |
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Si |
|
lim |
n√an |
= |
L |
(converge) |
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Si |
L = 1 |
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|
an |
no se sabe |
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|
Se aplica a potencias enésimas. |
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Si |
L > 1 |
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|
an |
diverge |
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| Ejemplos: |
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| 1) |
| Estudiar el carácter de la serie para: |
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an |
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|
1 / (L n)n |
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lim |
n√an |
= |
lim |
1 / (L n) |
= |
0 < 1 |
(converge) |
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