SERIE NUMÉRICA

Sea

{

a1

a2

a3

···

an

}

una sucesión cualquiera que se representa por

{

an

}

Sea

a1 + a2 + a3 +· ··· + an + ···

la suma de infinitos términos representada por

an

Definimos la sucesión

Sn

=

a1 + a2 + a3 +· ··· + an

luego

an

=

lim

Sn

=

S

SERIE  ARITMÉTICA

an

=

a1 + d (n-1)

{

an

}

a1

;

a2

;

a3

;

···

;

an-2

;

an-1

;

an

Sn

=

a1

+

a1+d

+

a1+2d

+

···

+

a1+(n-3)d

+

a1+(n-2)d

+

a1+(n-1)d

+ Sn

=

a1+(n-1)d

+

a1+(n-2)d

+

a1+(n-3)d

+

···

+

a1+2d

+

a1+d

+

a1

2·Sn

=

2

a1+(n-1)d

+ 2

a1+(n-1)d

+ 2

a1+(n-1)d

+

···

+ 2

a1+(n-1)d

+ 2

a1+(n-1)d

+ 2

a1+(n-1)d

2·Sn

=

[ 2a1+(n-1)d ] · n

Sn

=

[ 2a1+(n-1)d ] · n / 2

lim

Sn

=

inf

diverge

Ejemplo:

1)

an

=

3·n

SERIE  GEOMÉTRICA

an

=

a1 · r n-1

con r diferente de cero.

{

an

}

a1

;

a2

;

a3

;

···

;

an-2

;

an-1

;

an

Sn

=

a1

+

a1·r

+

a1·r2

+

···

+

a1·rn-3

+

a1·rn-2

+

a1·rn-1

- r·Sn

=

-

a1·r

-

a1·r2

-

a1·r3

-

···

-

a1·rn-2

-

a1·rn-1

-

a1·rn

Sn

- r·Sn

=

a1

-

a1·rn

(al sumar se anulan totos los términos menos los extremos)

Sn

( 1 - r )

=

a1

-

a1·rn

;

Sn

= (a1-a1·rn)/(1-r)

= a1 (1-rn)/(1-r)

Si

|r| < 1

;

Lim rn = 0

;

Lim Sn = a1/(1-r)

;

converge

Si

r = 1

;

Sn

= a1+ ··· +a1 = n a1

;

Lim Sn = a1 Lim n = ±∞

;

diverge

Si

r > 1

;

Lim rn = ∞

;

Lim Sn = ±∞

;

diverge

Si

r < -1

;

Lim rn = oscilante

;

Lim Sn = no tiene

;

diverge

Caso particular de la serie en la que

a1 = 1

1/(1 - r) =

1 + r + r2 + r3 + r4 + ···

Si |r|<1

Ejemplos:

1)

an

=

1 / 2n

;

2)

an

=

(-1)n

SERIE  ARMÓNICA

an

=

1 / nk

con k > 0

1 / nk

Si k > 1 converge

;

Si k <= 1 diverge