LIMITE DE UNA SUCESIÓN

Una sucesión tiene límite L cuando n tiende al infinito y se representa por

lim an = L

si a partir de un cierto valor de n todos los terminos se van acercando cada vez mas a L

CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES SEGÚN SU LÍMITE

Convergente :

Si L es finito.

Divergente .. :

Si L es mas o menos infinito.

Oscilante ..... :

Si L no existe.

TEOREMAS PARA SUCESIONES CONVERGENTES

1-

Toda sucesión convergente está acotada.

cota superior

(El límite no tiene porque ser una cota de la sucesión)

límite

2-

Toda sucesión  monótona y acotada es convergente.

cota inferior

PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES

Sean

{

an

}

{

bn

}

k

dos sucesiones convergentes y  una constante.

Propiedades básicas

1-

lim k

=

k

4-

lim (an - bn)

=

lim an - lim bn

2-

lim (  k · an )

=

k · lim an

5-

lim (an · bn)

=

lim an · lim bn

3-

lim (an + bn)

=

lim an + lim bn

6-

lim (an / bn)

=

lim an / lim bn

(lim bn no es 0)

Otras propiedades

1-

lim ( a0 + a1·n + a2·n2 + ······ + ar·nr )

=

lim ar·nr

(ar>0 ; infinito)

(ar<0 ; - infinito)

2-

lim

a0 + a1·n + a2·n2 + ······ + ar·nr

=

lim

ar·nr

( r < s ; 0 )

( r = s ; ar / bs )

b0 + b1·n + b2·n2 + ······ + bs·ns

bs·ns

( r > s ; + ó - infinito )

3-

lim ( 1 + 1/n )n

=

e

4-

lim anbn

=

1infinito

=

ek

donde

k = lim bn·(an - 1)

5-

lim ln an

=

ln lim an

INDETERMINACIONES

1-

inf / inf  y  0/0

Se aplica el método de L' Hôpital

2-

0 · inf

Se transforma a las de tipo  inf / inf  o  0/0  y se aplica L' Hôpital

3-

inf - inf

Racionalizar (multiplicar y dividir por el conjugado)

4-

1infinito

ek

donde

k = lim bn·(an - 1)

5-

inf 0

y

0 0

Se aplican logaritmos y que

lim ln an

=

ln lim an

Ejercicios:

1)

Calcular k para que se cumpla la siguiente igualdad :

lim [ (n+3) / (k·n-1) ] k·n - 5 = e 4