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SUCESIONES
NUMÉRICAS |
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Son un conjunto ordenado de números |
N |
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R |
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{ |
a1 |
a2 |
a3 |
··· |
an |
} |
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a1 |
|
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{ |
an |
}n € N |
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a2 |
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| Ejemplos: |
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| 1) |
an |
= |
2n |
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{ |
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ····· |
} |
|
{ |
2n |
} |
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n € N |
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| 2) |
an |
= |
2n + 1 |
|
{ |
1 ; 3 ; 5 ; 7 ;
9 ; ····· |
} |
|
{ |
2n + 1 |
} |
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|
n € N |
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| 3) |
an |
= |
(-1)n+1 |
/ n |
|
{ |
1 ; -1/2 ;1/3 ; -1/4 ; 1/5 ; ·· |
} |
|
{ |
(-1)n+1 |
/ n |
} |
|
n € N |
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| 4) |
an |
= |
1+ |
3+ |
5+ |
7+ |
······+ (2n + 1) |
|
a1 |
= 1/2 |
|
; |
a2 |
= (1+ 3)/(2+4) = 2/3 |
|
| 2+ |
4+ |
6+ |
8+ |
······+ |
2n |
|
|
a3 |
= (1+3+5)/(2+4+6) = 3/4 |
; |
a4 |
= (1+3+5+7)/(2+4+6+8) =
4/5 |
| 5) |
an |
= |
(3n + 1) / 2n |
|
|
a1 |
= 4/2 = 2 |
; |
a2 |
= 7/4 |
; |
a3 |
= 10/8 = 5/4 |
; |
a4 |
= 13/16 |
| 6) |
a1 |
= |
1 |
|
an |
= an-1 |
+ 3 |
|
n>1 |
{ |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
··· |
} |
|
| 7) |
a1 |
= |
a2 |
= |
1 |
|
an |
= an-2 |
+ an-1 |
|
n>2 |
{ |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
··· |
} |
Fibonacci |
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| Ejercicios: |
Determinar el terminos generales de: |
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| 1) |
{ |
an |
} |
= |
{ |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
··· |
} |
|
|
an |
= |
(-1)n+1 |
|
| 2) |
{ |
bn |
} |
= |
{ |
2 |
4/9 |
6/25 |
8/49 |
··· |
} |
|
|
bn |
= |
2n / (2n-1)n+1 |
|
| 3) |
{ |
cn |
} |
= |
{ |
-1/3 |
2/6 |
-4/9 |
8/12 |
··· |
} |
|
cn |
= |
(-1)n·2n-1/ 3n |
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SUCESIONES MONÓTONAS |
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Monótona creciente ... : |
an+1 > an |
V n€N |
demostrar que: |
an+1 / an > 1 |
ó |
an+1 - an > 0 |
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Monótona decreciente : |
an+1 < an |
V n€N |
demostrar que: |
an+1 / an < 1 |
ó |
an+1 - an < 0 |
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| Ejemplos: |
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| 1) |
an |
= |
1/n |
|
{ |
1 |
1/2 |
1/3 |
|
1/4 |
··· |
} |
|
monótona decreciente |
|
| 2) |
an |
= |
2n |
|
{ |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
··· |
} |
|
monótona creciente |
|
| 3) |
an |
= |
(-1)n |
|
{ |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
··· |
} |
|
oscilante, no es monótona |
|
| 4) |
Demostrar que |
an |
= |
3n / (n+1)2 |
es monótona y si es creciente o decreciente. |
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Método : |
Para demostrarlo se supone que se cumple una de las
dos y transformarmos |
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|
la desigualdad en otra evidente que confirmara la
hipotesis o la contraria. |
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Demostración: |
Si fuera creciente debería cumplir que |
3(n+1) / |
(n+2)2 |
> |
3n / (n+1)2 |
|
|
3(n+1)(n+1)2 |
> |
3n(n+2)2 |
; |
(n+1)3 |
> |
n (n+2)2 |
; |
n3+3n2+3n+1 |
> |
n3+4n2+4n |
; |
1 > n2+n |
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|
como n>=1, no se cumple para ningún
"n" por lo que se deduce que es decreciente. |
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SUCESIONES ACOTADAS |
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Acotada superiormente : |
an |
<= |
M |
|
para cualquier n € N |
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|
Acotada inferiormente . : |
an |
>= |
m |
|
para cualquier n € N |
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|
Acotada : |
Si está acotada superior e inferiormente. |
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| Ejemplos: |
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| 1) |
an |
= |
1/n |
{ |
1 |
1/2 |
1/3 |
|
··· |
} |
|
0 < |
an |
< 1 |
acotada |
|
| 2) |
an |
= |
2n |
{ |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
··· |
} |
|
2 <= |
an |
|
acotada inferiormente |
|
| 3) |
an |
= |
(-1)n·n2 |
{ |
-1 |
4 |
-9 |
16 |
-25 |
··· |
} |
|
No acotada ni superior ni inferiormente |
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