SOLUCIONES 1b

SERIES de TAYLOR

5)

Desarrollo en serie de Taylor y el campo de convergencia para:

1/x2

en

-1

Derivadas :

f 0)(x) = x-2

f 1)(x) = -2x-3

f 2)(x) = -2(-3)x-4

f 3)(x) = -2(-3)(-4)x-5

Derivadas(-1):

f 0)(-1) = 1

f 1)(-1) = 2

f 2)(-1) = 2·3

f 3)(-1) = 2·3·4

f n)(-1) = (n+1)!

Sucesión :

an

= (n+1)! / n!

= (n+1) · n! / n!

= (n+1)

;

an

= n+1

(n empieza en 0)

Serie(-1) :

1/x2

=

Σ0

an

(x+1)n

=

Σ0

(n+1) (x+1)n

=

1 + 2(x+1) + 3(x+1)2 + 4(x+1)3 + ···

Radio con. :

lim

|an/an+1|

=

lim

(n+1) / (n+2)

=

1

Campo (-1) :

x = -1+1 = 0

;

Σ0

(n+1) (x+1)n

=

Σ0

(n+1)

diverge

(crit. diverg.)

(-2 , 0)

x = -1-1 = -2

;

Σ0

(n+1) (x+1)n

=

Σ0

(n+1)(-2)n

=

Σ0

(-1)n(n+1)2n

diverge

no existe

lim

(-1)n(n+1)2n

ya que es creciente y alterna signos

(crit. diverg.)

6)

Calcular e0,2 con error menor que 10-4

ex

=

1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + x5/120 + ···

e0,2

=

e1/5

=

1 + 1/5 + 1/50 + 1/750 + 1/15000

=

1 + 0,2 + 0,02 + 0,00133 + 0,00006

los 4 primeros bastan ya que 0,00006 < 0,0001

e0,2

=

1,2213300

Real =

1,2214028

Error =

0,0000728

<

0,0001

Se puede calcular el valor del número e con la precisión que se quiera, por ejemplo con

10 decimales, para ello hay que sumar los 14 primeros terminos.

2,71828182845

7)

Calcular sen(0,2) con error menor que 10-4

sen x

=

x - x3/6 + x5/120 - x7/5040 + ···

sen 0,2

=

sen 1/5

=

1/5 - 1/750 + 1/375000

=

0,2 - 0,001333 + 0,0000266

los 2 primeros bastan ya que 0,000026 < 0,0001

sen 0,2

=

0,198666667

Real =

0,198669331

Error =

0,0000027

<

0,0001