| SOLUCIONES 1a | SERIES de TAYLOR | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 1) | Desarrollo en serie de Mclaurin y campo de convergencia para: | sen x | |||||||||||||||||||||||||||||
| Derivadas : | f 0)(x) = sen x | f 1)(x) = cos x | f 2)(x) = -sen x | f 3)(x) = -cos x | f 4)(x) = sen x | ||||||||||||||||||||||||||
| Derivadas(0): | f 0)(0) = 0 | f 1)(0) = 1 | f 2)(0) = 0 | f 3)(0) = -1 | f 4)(0) = 0 | ||||||||||||||||||||||||||
| Sucesión : | solo los impares alternando el signo: | an | = (-1)n / (2n+1)! | (n empieza en 0) | |||||||||||||||||||||||||||
| Serie(0) : | sen x | = | Σ0 | an | x 2n+1 | = | Σ0 | (-1)n x2n+1 / (2n+1)! | = | x/1! - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ··· | |||||||||||||||||||||
| Radio conv. : | lim | |an/an+1| | = | lim | (2n+3)! / (2n+1)! = | lim | (2n+3)·(2n+2) = | inf | |||||||||||||||||||||||
| Campo(0) : | (-inf , inf) | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Coincidencia : | Por el TEOREMA de COINCIDENCIA por DERIVADAS | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Las derivadas sucesivas alternan coseno y seno por lo que el | | es < 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 2) | Desarrollo en serie de Mclaurin y campo de convergencia para: | cos x | |||||||||||||||||||||||||||||
| Derivadas : | f 0)(x) = cos x | f 1)(x) = -sen x | f 2)(x) = -cos x | f 3)(x) = sen x | f 4)(x) = cos x | ||||||||||||||||||||||||||
| Derivadas(0): | f 0)(0) = 1 | f 1)(0) = 0 | f 2)(0) = -1 | f 3)(0) = 0 | f 4)(0) = 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| Sucesión : | solo los pares alternando el signo: | an | = (-1)n+1 / (2n)! | (n empieza en 0) | |||||||||||||||||||||||||||
| Serie(0) : | cos x | = | Σ0 | an | x 2n | = | Σ0 | (-1)n+1 x2n / (2n)! | = | -1/0! + x2/2! - x4/4! + x6/6! + ··· | |||||||||||||||||||||
| Radio conv. : | lim | |an/an+1| | = | lim | (2n+2)! / (2n)! = | lim | (2n+2)·(2n+1) = | inf | |||||||||||||||||||||||
| Campo(0) : | (-inf , inf) | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Coincidencia : | Por el TEOREMA de COINCIDENCIA por DERIVADAS | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Las derivadas sucesivas alternan coseno y seno por lo que el | | es < 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 3) | Desarrollo en serie de potencias y el campo de convergencia para: | 1/(1+x) | |||||||||||||||||||||||||||||
| Caso particular de la serie geométrica | an | = | a1 · r n-1 | en la que | a1 = 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1/(1 - r) = | 1 + r + r2 + r3 + r4 + ··· | converge si | r | < 1 | |||||||||||||||||||||||||||||
| Podemos considerar que 1 + x = 1 - (-x) donde -x = r luego : | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| = | = | 1 - x + x2 - x3 + x4 + ··· | = | Σ0 | (-1)n xn | converge si | x | < 1 | |||||||||||||||||||||||||
| 1 + x | 1 - (-x) | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Aplicando el teorema de unicidad, tenemos el desarrollo en serie de Mclaurin. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Coincidencia : | Son coincidentes porque se obtienen con transformaciones algebricas | ||||||||||||||||||||||||||||||
| de igualdad, validas, y no con aproximación por serie de potencias. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 4) | Desarrollo en serie de Mclaurin y campo de convergencia para: | Ln (1+x) | |||||||||||||||||||||||||||||
| Derivadas : | f 0)(x) = Ln (1+x) | f 1)(x) = (1+x)-1 | f 2)(x) = -(1+x)-2 | f 3)(x) = 2(1+x)-3 | f 4)(x) = 2(-3)(1+x)-4 | ||||||||||||||||||||||||||
| Derivadas(0): | f 0)(0)=0 | f 1)(0)=1 | f 2)(0)= -1 | f 3)(0)=2 | f 4)(0)= -2·3 | ··· | f n)(0)=(-1)n-1(n-1)! | ||||||||||||||||||||||||
| Sucesión : | an | = (-1)n-1(n-1)! / n! | = (-1)n-1(n-1)! / n(n-1)! = | (-1)n-1 / n | (n empieza en 1) | ||||||||||||||||||||||||||
| Serie(0) : | Ln (1+x) | = | Σ1 | an | x n | = | Σ1 | (-1)n-1 xn / n | = | x/1 - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ··· | |||||||||||||||||||||
| Radio conv. : | lim | |an/an+1| | = | lim | (n+1)/n = | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| Campo(0) : | x = 0+1 = 1 | Σ1 | (-1)n-1xn/n = | Σ1 | (-1)n-1/n | converge (crit. Leibniz) | |||||||||||||||||||||||||
| (-1 , 1] | x = 0-1 = -1 | Σ1 | (-1)n-1xn/n = | Σ1 | (-1)n-1(-1)n/n | = | Σ1 | -1/n | diverge (s.armónica) | ||||||||||||||||||||||
| Coincidencia : | Por el TEOREMA de COINCIDENCIA por INTEGRAL | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Si integramos ambos miembros de la igualdad del ejercicio anterior : | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ∫∫ | 1 | ∫∫ | |||||||||||||||||||||||||||||
| dx | = | 1 - x + x2 - x3 + ··· dx | Al integrar la convergencia se mantiene : | ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 + x | |||||||||||||||||||||||||||||||
| x2 | x3 | xn | |||||||||||||||||||||||||||||
| Ln x | = | x | - | + | - | ··· | = | Σ1 | (-1)n-1 | converge si | x | < 1 | |||||||||||||||||||||
| 2 | 3 | n | |||||||||||||||||||||||||||||