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SERIES
de TAYLOR |
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Consideremos que hay funciones que se puedan
representar por series de potencias: |
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de la siguiente forma: |
f(x)
= a0 + a1(x-c)
+ a2(x-c)2 +· a3(x-c)3 +
··· +· an(x-c)n + ··· |
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Calculemos las derivadas consecutivas de f(x) para
x = c : |
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f 0) [x] |
= |
a0 + a1(x-c) + a2(x-c)2 +
a3(x-c)3 +
··· |
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f 0) [c] |
= |
1 · a0 |
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f 1) [x] |
= |
a1 + 2·a2(x-c)
+ 3·a3(x-c)2 + 4·a4(x-c)3 +
··· |
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f 1) [c] |
= |
1 · a1 |
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f 2) [x] |
= |
2·a2 + 2·3·a3(x-c) + 3·4·a4(x-c)2 +
4·5·a5(x-c)3 + ··· |
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f 2) [c] |
= |
2 · a2 |
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f 3) [x] |
= |
2·3·a3 +
2·3·4·a4(x-c) +·3·4·5·a5(x-c)2 + 3·4·5·a6(x-c)3 +
··· |
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f 3) [c] |
= |
6 · a3 |
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f n) [c] |
= |
n! · an + todos lor terminos siguientes dependen de (x-c) |
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f n) [c] |
= |
n! · an |
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Luego si existe este polinomio sus coeficientes
deben cumplir estas igualdades. |
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Definición: Serie de Taylor de una función es el
desarrollo de la liguiente forma: |
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Centrado en c : |
f(x) = |
Σ0 |
an |
(x-c)n |
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con |
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an |
= |
f n) [c] / n! |
Serie de Taylor |
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Centrado en 0 : |
f(x) = |
Σ0 |
an |
xn |
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con |
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an |
= |
f n) [0] / n! |
Serie de Mclaurin |
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para ello la función debe ser derivable al menos
hasta orden n) |
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TEOREMA de UNICIDAD |
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Teorema: |
La serie de Taylor de una función en un punto es
única para ese punto. |
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| - |
Su interpretación es que si por otro camino
encontráramos una serie de potencias |
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centrada en el mismo punto, este coincide con la
construida según el método de Taylor. |
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TEOREMA de COINCIDENCIA
por DERIVADAS |
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El hecho de que la serie de Taylor tome valores en
el campo de convergencia no es |
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suficiente para que realmente coincida con los
valores de la función de la que se obtiene. |
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| - |
Teorema: |
Para que la función y su serie de Taylor coincidan
en su campo de convergencia |
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es suficiente
que |
| f k)(x) | ≤ M |
para el campo de convergencia (-R,R) con R |
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finito, siendo M una constante cualquiera común
para todas las derivadas. |
| - |
Ejemplos que lo cumplen y por tanto son
coincidentes con su serie : ex, sen x , cos x. |
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| - |
Ejemplo que NO lo cumple y sin embargo es
coincidente con su serie : Ln (x+1) |
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TEOREMA de COINCIDENCIA
por INTEGRAL |
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| - |
Este nos permite resolver la coincidencia en
ciertos casos en los que no se cumple el |
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teorema anterior por derivadas. |
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| - |
Teorema: |
Si una función y su serie de Taylor coinciden en su
campo de convergencia, |
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también coinciden la integral de la función con la
integral de su serie en el mismo |
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campo de convergencia. |
| - |
Ejemplo que lo cumple y por tanto es coincidente
con su serie : Ln (x+1) |
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| Ejemplo: |
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Desarrollo en serie de Mclaurin y campo de
convergencia para: |
ex |
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Derivadas : |
f 0)(x) = ex |
f 1)(x) = ex |
f 2)(x) = ex |
··· |
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f n)(x) = ex |
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Derivadas(0): |
f 0)(0) = 1 |
f 1)(0) = 1 |
f 2)(0) = 1 |
··· |
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f n)(0) = 1 |
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Sucesión : |
an |
= 1 / n! |
(n empieza en 0 ya que 0!=1) |
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Serie(0) : |
ex |
= |
Σ0 |
an |
xn |
= |
Σ0 |
xn / n! |
= |
1/0! + x/1! + x2/2! + x3/3! + ··· |
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Radio conv. : |
lim |
|an/an+1| |
= |
lim |
(n+1)! /
n! = |
lim |
(n+1) |
= |
inf |
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Campo(0) : |
(-inf , inf) |
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Coincidencia : |
Por COINCIDENCIA por DERIVADAS, Para cualquier
intervalo que escojamos |
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Ampliación: |
También se demuestra que se cumplen los siguientes
desarrollos en series: |
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ep(x) |
= |
Σ0 |
p(x)n / n! |
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para cualquier polinomio p(x). |
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