MÉTODOS de INTEGRACIÓN POR PARTES
Proviene de la derivada de un producto de funciones: [ f(x) g(x) ] '  =  f(x)' g(x) + g(x)' f(x)
Si llamamos u=f(x)  y  v=g(x) y usamos la notación "d" para la derivada respecto de x :
∫ ∫
d(u·v) = v du + u dv integrando ambas partes: u·v = v du + u dv
El método se concreta en los siguientes pasos:
∫
f(x)     = u
f '(x) dx = du
∫ -∫
f(x) g(x) dx ∫ u dv   =  u·v v du
g(x) dx = dv g(x)  dx =  v
∫ ∫ -∫
Si g(x)  dx = G(x) Tenemos que: f(x) g(x) dx  =  f(x) G(x) f '(x) G(x) dx
Se trata de descomponer el integrando original como producto de dos funciones f(x) y g(x),
escogiendo éstas de tal manera que al aplicar la fórmula, g(x) la sepamos integrar y la nueva
integral tambien resulte más sencilla que la inicial aunque no sea inmediata.
  FUNCIONES SOLITARIAS
Para las funciones trigonométricas inversas:  artg x , arsen x , arcos x, …
∫ artg x =
u
dx / (1+x2) =
du
∫ -∫ x
1) artg x dx artg x dx  =  x artg x dx
dx = dv x = v 1 + x2
Para el logaritmo
∫ Lx =
u
dx / x =
du
∫ -∫
2) Lx dx Lx dx = x Lx dx
dx = dv x = v
  POLINOMIO por LOGARITMO
∫ Lx =
u
dx / x =
du
∫ -∫ P(x)
p(x) Lx dx p(x) Lx dx   =   P(x) Lx dx
p(x) dx = dv P(x)  = v x
∫ Lx =
u
dx / x =
du
∫ -∫ x
3) x Lx dx x Lx dx   =  1/2 x2 Lx dx
x dx = dv x2 / 2 = v 2
  POLINOMIO por EXPONENCIAL o por TRIGONOMÉTRICAS
Al aplicar reiteradamente baja el grado de P(x) de uno en uno hasta cero.
∫ p(x) =
u
p'(x) dx =
du
∫ -∫
p(x) ex dx p(x) ex dx = p(x) ex  p'(x) ex dx
ex dx = dv ex  = v
∫ x =
u
dx =
du
∫ -∫
4) xex dx x ex dx  =  x ex  ex dx
ex dx = dv ex  = v
  CÍCLICAS
Al realizar unos cambios se vuelve a obtener la integral inicial pero de signo contrario.
∫ cos x =
u
-sen x dx =
du
∫
5) ex cos x dx (1º) ex cos x + ex sen x dx
ex dx = dv ex = v
∫ sen x =
u
cos x dx =
du
∫
(2º) ex sen x dx = ex sen x - ex cos x dx
ex dx = dv ex = v
∫ -∫
ex cos x dx = ex cos x + ex sen x ex cos x dx Despejando la integral :
∫ ex (cos x+sen x)
ex cos x dx =
2