SOLUCIONES 4
Repetir los ejercicios del 1 al 20 de "Ejercicios 3" pero por cambio de variable.
Integral
Cambio inmediata SOLUCIONES
variable o  racional
∫ 1 ∫ 1
1) dx ex = t dt = - x/9 + 1/3 e-x + 1/9 L|ex-3| + k
e2x -3ex t3 - 3 t2
∫ 1 ∫ 1
2) dx ex = t dt = - x/2 + 1/6 L|ex+2| + 1/3 L|ex-1| + k
e2x+ex -2 (t2+t -2) t
∫ ex ∫ 1
3)     dx ex = t dt = arsen ex  +  k
√ (1 - e2x) √(1-t2)
∫ 1 ∫ -1
4) dx tg(x/2) = t dt = -1/4 L | tg(x/2) - 2 | + 1/4 L| tg(x/2) + 2 | + k
3+5cosx t2 - 4
∫ 1 ∫ 1
5) dx tg(x/2) = t dt = artg [ tg(x/2) +1 ] + k
cos x+2 sen x+3 t2+2t+2
∫ sen x ∫ -1
6) dx cos x = t dt = - L | cos x | + 1/2 L | cos2x + 1 | + k
cos x (1+cos2x) t(1+t2)
∫ 1 ∫ 1
7) dx tg(x/2) = t dt = L | 1+ tg(x/2) | + k
1+sen x+cos x 1 + t
∫ 1 ∫ -1
8) dx tg(x/2) = t dt = - 1/√6 artg [ √2 (t+1) /√3 ] + k
3-4sen x+7cos x 2t2+4t+5
∫ cos x ∫ 1
9) dx sen x = t dt = L | 2 + sen x | + k
2 + sen x 2 + t
∫ sen2x ∫ t2
10) dx tg x = t dt = - x + √2 artg [ (tg x) / √2 ]+ k
1 + cos2x t4+3t2+2
t2  =  (at+b) (t2+2) + (ct+d) (t2+1) 11a - 3b +10c = 3
a = c = 0
t2 at +b ct +d
= + Donde para  t=0  queda  d = -2b 6a - 2b +  5c = 2 b = -1
(t2+1)(t2+2) t2+1 t2+2
Si t = 1,2,3 nos queda el sistema 3a -   b +  4c = 1 d =  2
∫ sen2x ∫ 1
11) dx tg x = t dt = artg[ t ] + k = artg [ tg x ] + k = x + k
1 - cos2x 1 + t2
∫ 1 ∫ 6 t3 = 2t3 - 3t2 + 6t - 6 L | t+1 | + k
12)     dx x = t 6 dt
3√x + √x 1 + t = 2 √x - 3· 3√x + 6· 6√x - 6 L | 6√x+1 | + k
∫ 1-√(x-1) ∫ 2 t (1 - t) = - t2 + 4t - 4 L | 1+t | + k
13) dx x-1 = t2 dt
1+√(x-1) 1+ t = -x +1 +4√(x-1) -4 L | 1+√(x-1) | + k
∫ 5 ∫
14) dx 1-x = t2 -10 dt = -10 √(1-x) + k
√(1-x)
∫ 1 ∫ - 4 t2 = -2 t2 + 4t - 4 L | 1+t | + k
15) dx 5-x = t4 dt
4√(5-x) +√(5-x) 1 + t = -2√(5-x) +4· 4√(5-x) +4 L | 4√(5-x) +1 | + k
∫
16)
∫
17)
∫
18)
∫
19)
∫
20)