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MÉTODO
de CAMBIO de VARIABLE o por SUSTITUCIÓN |
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∫ |
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x |
= |
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h(x) |
= |
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Se deriva cada miembro de la |
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f(x) |
dx |
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ó |
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dx |
= |
g'(t) dt |
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h'(x) dx |
= |
dt |
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igualdad con respecto de su variable. |
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Se sustituye en función de t para que quede una
integral inmediata, racional o irracional en t. |
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Tambien puede quedar para aplicar el método por
partes. |
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∫ |
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x2 |
= |
t |
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dt |
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1 |
∫ |
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| 1) |
xex |
2| |
dx |
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x dx |
= |
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e t |
dt |
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2 x dx |
= |
dt |
2 |
|
2 |
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∫ |
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sen x |
= |
t |
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∫ |
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| 2) |
sen3x cos x |
dx |
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t 3 |
dt |
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cos x dx |
= |
dt |
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∫ |
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x4+2 |
= |
t |
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|
dt |
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1 |
∫ |
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| 3) |
x3 cos (x4+2) |
dx |
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x3 dx |
= |
|
cos t |
dt |
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4x3 dx |
= |
dt |
4 |
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4 |
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∫ |
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|
2x+1 |
= |
t |
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|
dt |
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1 |
∫ |
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| 4) |
\
2x+1 |
dx |
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dx |
= |
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t 1/2 |
dt |
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2 dx |
= |
dt |
2 |
|
2 |
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FUNCIÓN RACIONAL |
ex |
Cociente de polinomios en ex |
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∫ |
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x |
= |
Ln t |
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∫∫ |
R(t) |
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R(ex) |
dx |
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ex |
= |
t |
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|
dt |
|
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dx |
= |
dt/t |
|
t |
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∫ |
1+ex |
|
∫ |
1+t |
|
-∫ |
t+1 |
|
| 5) |
dx |
= |
dt |
= |
dt |
= |
L | t |
- 2 L | t-1 | + k |
= |
x - 2 L | ex-1| + k |
|
| 1-ex |
(1-t) t |
t (t-1) |
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FUNCIÓN RACIONAL |
sen x y
cos x |
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Cambio universal |
R(sen x,cos x) como cociente de polinomios en, sen
x, y/o, cos x. |
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∫ |
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x |
= |
2ˇartg t |
|
sen x |
= 2t / (1+t2) |
∫ |
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|
R(sen x,cos x) dx |
|
tg(x/2) = t |
|
R(t) dt |
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dx |
= |
2dt/(1+t2) |
cos x |
= (1-t2) / (1+t2) |
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∫ |
1-cosx |
|
∫ |
2 t2 |
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| 6) |
dx |
= |
dt |
= |
2 t - 2 arct t
+ k |
= |
2 tg(x/2) - x +
k |
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| 1+cosx |
1 + t2 |
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Caso particular |
1: |
No es universal, pero disminuye el grado de los
polinomios resultantes. |
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Se aplica cuando en el integrando las potencias de sen y cos son pares. O tambien si el |
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numerador y denominador son polinomios homogéneos
del mismo grado en sen y cos. |
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∫ |
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|
x |
= |
artg t |
|
|
t |
|
1 |
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|
R(sen x,cos x) dx |
|
tg x = t |
sen x |
= |
|
cos x |
= |
|
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|
dx |
= |
dt / (1+t2) |
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∫ |
1 |
|
∫ |
1 |
|
|
1 |
|
t |
|
1 |
|
tg
x |
|
|
|
| 7) |
dx |
= |
dt |
= |
artg ( |
) + k |
= |
artg ( |
) + k |
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| 1 + cos2 x |
2 + t2 |
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Caso particular |
2: |
Solo cos x multiplica a una
racional donde solo aparece potencias de sen x |
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∫ |
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|
sen x |
= |
t |
|
|
∫ |
|
|
R(sen x) cos x dx |
|
|
R(t) dt |
|
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|
cos x dx |
= |
dt |
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∫ |
cos
x |
|
∫ |
1 |
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1 |
|
1+sen x |
|
| 8) |
dx |
= |
dt |
= |
1/2
L | 1+t | - 1/2 L | 1-t | + k |
= |
L | |
| + k |
|
| 1 - sen2 x |
1 - t2 |
2 |
1-sen x |
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Caso particular |
3: |
Solo sen x multiplica a una
racional donde solo aparece potencias de cos x |
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∫ |
|
|
cos x |
= |
t |
|
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∫ |
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|
R(cos x) sen x dx |
|
|
- R(t) dt |
|
|
|
- sen x dx |
= |
dt |
|
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∫ |
sen
x |
|
∫ |
-1 |
|
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1 |
|
1-cos x |
|
| 9) |
dx |
= |
dt |
= |
-1/2
L | 1+t | + 1/2 L | 1-t | + k |
= |
L | |
| + k |
|
| 1 - cos2 x |
1 - t2 |
2 |
1+cos x |
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FUNCIÓN RACIONAL |
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(ax+b)1/n |
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∫ |
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|
ax +b = tm |
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∫ |
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R[(ax+b)1/n] dx |
m = MCM(de indices de todas las raices) |
R(t) dt |
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a dx = m tm-1dt |
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∫ |
|
dx |
|
x = t 6 |
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∫ |
6
t3 dt |
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| 10) |
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6 = MCM(2,3) |
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|
= |
2t3+3t2+6t+6L|t-1|+k |
|
| x1/2 - x1/3 |
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dx = 6t5dt |
x1/3 = t 2 |
|
t - 1 |
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