RACIONAL (Método de integración racional)
P(x)
Es integrar un cociente de polinomios. Si grado P(x) ≥ grado Q(x)
Q(x)
siempre se pueden dividir obteniendo otra integral con grado P(x) < grado Q(x)
∫ P(x) P(x) Q(x) P(x) R(x)
dx P(x) = C(x)Q(x) + R(x) = C(x) +
Q(x) R(x) C(x) Q(x) Q(x)
∫ P(x) ∫ ∫ R(x)
dx = C(x) dx + dx El grado de R(x) es menor que el de Q(x)
Q(x) Q(x)
  RACIONALES grado P(x) < grado Q(x)
Se descompone la fracción en suma de fracciones simples que despues se integran.
La fracción simple se clacula según el tipo de raiz en la que se puede factorizar Q(x).
Fracciones simples asociadas a una raiz:
    TIPO         EXPRESION           FRACCIONES SIMPLES      
                              A                      
Real simple   (x - a)    
    x - a  
       
      B1 B2 Bn  
Real múltiple   (x - b)n n > 1   + + ··· +  
    x - b (x - b)2 (x - b)n
       
      mx+n  
Imaginaria simple   (x2+px+q) Δ < 0    
    x2+px+q  
       
Imaginaria múltiple   (x2+px+q)n n > 1   Método de Hermite (No lo damos)  
                                                       
Nota 1: Δ = p2- 4q Nota 2: El método de Hermite, no entra en la materia para examen.
Descomposición de un producto de fracciones en suma de fracciones simples:
Por cada tipo de raiz se suma su fracción simple correspondiente.
P(x) P(x) A B1 B2 mx+n
Ejemplo: =         = + + +
Q(x) (x-1)(x-2)2 (x2+x+1) x - 1 x - 2 (x - 2)2 x2+x+1
Integración de fracciones simples:
Al integrar las fracciones simples siempre son del tipo racional inmediato:
∫ A
    dx = A Ln | x-a |
x - a
∫ A
    dx = A (1-n) (x + a)1-n + k
(x - a)n
∫ mx+n m 2n-mp 2x+p
dx = Ln | x2+px+q | + artg  + k Δ = p2- 4q < 0
x2+px+q 2
√-Δ
√-Δ
  RESUMEN
1º) Si grado P(x) ≥ grado Q(x), dividir.
2º) Si grado P(x) < grado Q(x), factorizar Q(x)
3º) Descomponer en suma de fracciones simples.
4º) Calcular los coeficientes de las fracciones simples.
5º) Integrar cada fracción simple según los modelos de integración racional inmediata.