Racional INMEDIATA

(Funciones racionales de integración inmediata)

1)

POTENCIAL

a)

Potencia de un polinomio completo de 1º grado (x+q)n con (n > 1)

∫

1

∫

∫

u-n+1

-1

dx

=

(x + q)-n dx =

u-nu'dx =

+

k

=

+

k

n > 1

(x + q)n

-n+1

(n-1) (x + q)n-1

2)

LOGARITMO

a)

Polinomio completo de 1º grado (x+q)

∫

1

∫

u'

dx

u = x+q

;

u' = 1

dx

=

Ln |x+q|

+

k

x + q

u

b)

Polinomio completo de 2º grado (x2+px+q)

∫

2x + p

∫

u'

dx

u = x2+px+q

;

u' = 2x+p

dx

=

Ln | x2+px+q |

+

k

x2+px+q

u

3)

ARCOTANGENTE

a)

Polinomio de 2º grado incompleto (x2+q) sin raices, es decir (q > 0)

∫

1

∫

1

∫

1/q

∫

1/√q ·1/√q

1

∫

1/√q

x

1

=

=

=

=

u =

;

u' =

x2+q

q(x2/q+1)

(x/√q)2+1

(x/√q)2+1

√q

(x/√q)2+1

√q

√q

∫

1

1

∫

u'

1

1

x

=

dx

=

artg u

+

k

=

artg

+

k

q > 0

x2+q

√q

1+u2

√q

√q

√q

b)

Polinomio completo (x2+px+q) sin raices, es decir (Δ = p2- 4q < 0)

∫

1

p = 2b

b = p/2

b = p/2

dx

;

x2+px+q = (x+b)2+a= x2+2xb+b2+a

;

;

y

x2+px+q

q = b2+a

a = (4q-p2)/4

a = -Δ/4

∫

1

∫

u'

1

u

1

x+b

dx

u = x+b ;

u' = 1

dx

=

artg

+ k =

artg

+

k

(x+b)2+a

u2+a

√a

√a

√a

√a

1

1

2

x+b

2

2x+p

2

2x+p

=

=

;

=

(x+b)

=

;

artg

+

k

Δ < 0

√a

√(-Δ/4)

√-Δ

√a

√-Δ

√-Δ

√-Δ

√-Δ

4)

LOGARITMO Y ARCOTANGENTE

a)

Polinomio completo (x2+px+q) sin raices, es decir (Δ = p2-4q < 0)

∫

x + r

∫

1/2 (2x+p) + (2r-p)/2

1

∫

2x+p

2r-p

∫

1

dx

=

dx

=

dx

+

dx

x2+px+q

x2+px+q

2

x2+px+q

2

x2+px+q

Tipo 2b

Tipo 3b

1/2 (2x+p) + (2r-p)/2 = x +p/2 + r - p/2 = x + r

∫

x + r

1

2r - p

2x + p

dx

=

Ln | x2+px+q |

+

artg

+

k

Δ < 0

x2+px+q

2

√-Δ

√-Δ