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INTEGRALES
IMPROPIAS 2ª ESPECIE |
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Son integrales definidas donde la función y/o el
intervalo de integración no estan acotados. |
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INTEGRALES IMPROPIAS de 2ª
especie. |
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Función f(x) no acotada en un intérvalo finito de integración. |
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f(x) |
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Si la función tiene una asintota tendremos que : |
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∫ |
b-- |
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∫ |
b-ε |
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Tipo 2ªA : |
f(x) dx |
= |
lim |
f(x) dx |
= |
lim |
F(b-ε)
- F(a) |
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Tipo 2ªA |
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a |
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ε→0 |
a |
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ε→0 |
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a |
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b |
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∫ |
b |
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∫ |
b |
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Tipo 2ªB : |
f(x) dx |
= |
lim |
f(x) dx |
= |
F(b) - |
lim |
F(a+ε) |
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f(x) |
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a+ |
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ε→0 |
a+ε |
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ε→0 |
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∫ |
b |
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∫ |
c-- |
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∫ |
b |
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Tipo 2ªC : |
f(x) dx |
= |
f(x) dx |
+ |
f(x) dx |
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Tipo 2ªC |
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a |
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a |
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c+ |
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a |
|
c |
|
b |
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CONVERGENCIA |
La integral converge si el límite existe y diverge
si no existe o es infinito. |
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∫ |
2 |
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∫ |
2-- |
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∫ |
2-ε |
|
2-ε |
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| 1) |
(2-x)-1/2 dx |
= |
(2-x)-1/2 dx |
= |
lim |
(2-x)-1/2 dx |
= |
lim |
-2 (2-x)1/2 |
= |
-2 |
lim |
(ε1/2+21/2) |
= |
-2√2 |
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0 |
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|
0 |
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ε→0 |
0 |
|
ε→0 |
|
0 |
|
ε→0 |
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∫ |
3 |
|
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∫ |
3 |
|
|
∫ |
3 |
|
3 |
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| 2) |
(x-2)-1/3 dx |
= |
(x-2)-1/3 dx |
= |
lim |
(x-2)-1/3 dx |
= |
lim |
3/2 (x-2)2/3 |
= |
3/2 |
lim |
(1 - ε2/3) |
= |
3/2 |
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2 |
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2+ |
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ε→0 |
2+ε |
|
ε→0 |
|
2+ε |
|
ε→0 |
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PROPIEDADES |
Cosideramos que las integrales de f, g convergen. |
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∫ |
b-- |
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α∫ |
b-- |
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β∫ |
b-- |
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a) |
α·f ± β·g |
= |
f |
± |
g |
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converge |
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V α , β € R |
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a |
|
a |
|
a |
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∫ |
b-- |
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∫ |
c |
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∫ |
b-- |
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b) |
f |
= |
f |
+ |
f |
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|
V b € [a , b) |
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a |
|
a |
|
c |
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|
∫ |
b-- |
|
∫ |
b-- |
|
|
c) |
f |
≤ |
g |
|
Si f(x) ≤ g(x) |
|
V x € [a , b) |
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|
a |
|
a |
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| |
CRITERIO DE CONVERGENCIA |
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|
a) |
Primer criterio de comparación : |
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Si 0 ≤
f(x) ≤ g(x) |
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V x € [a , b) |
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∫ |
b-- |
|
∫ |
b-- |
|
∫ |
b-- |
|
∫ |
b-- |
|
∫ |
b-- |
|
∫ |
b-- |
|
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|
f |
≤ |
g |
|
Si |
g converge |
f tambien |
|
Si |
f diverge |
g tambien |
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a |
|
a |
|
a |
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
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b) |
Segundo criterio de comparación
: |
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Sea |
lim |
f(x) / g(x) = L ≥ 0 |
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Si 0 ≤
f(x) , 0 ≤ g(x) |
|
V x € [a , b) |
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x→∞ |
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∫ |
b-- |
∫ |
b-- |
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Si L
> 0 |
|
f |
g |
|
Las dos convergen o divergen a la vez. (Tienen el mismo carácter) |
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a |
a |
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∫ |
b-- |
|
|
∫ |
b-- |
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Si L =
0 |
y |
g converge => |
f converge |
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a |
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a |
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∫ |
b-- |
|
|
∫ |
b-- |
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Si L =
∞ |
y |
g
diverge => |
f diverge |
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a |
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a |
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MODELOS PARA LOS CRITERIO
DE COMPARACIÓN |
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∫ |
b-- |
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| (2a) |
(b-x)-r dx |
Converge al valor [ (b-a)1-r / (1-r) ] si r < 1 y
Diverge si
r ≥ 1 |
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a |
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∫ |
b |
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| (2b) |
(x-a)-r dx |
Converge al valor [ (b-a)1-r / (1-r) ] si r < 1 y
Diverge si
r ≥ 1 |
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a+ |
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