INTEGRALES IMPROPIAS 1ª ESPECIE
Son integrales definidas donde la función y/o el intervalo de integración no estan acotados.
  INTEGRALES IMPROPIAS de 1ª especie.
∫
Función f(x) continua en un intervalo infinito [a,∞) de integración con   F(x) = f(x) dx
∫ ∞ ∫ b
Tipo 1ªA : f(x) dx = lim f(x) dx = lim F(b)  -  F(a)
a b→∞ a b→∞
  f(x)
∫ b ∫ b  
Tipo 1ªB : f(x) dx = lim f(x) dx = F(b) - lim F(a)        
-∞ b→∞ a b→∞ a ∞
∫ ∞ ∫ c ∫ ∞
Tipo 1ªC : f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx (c es cualquier punto)
-∞ -∞ c
  CONVERGENCIA La integral converge si el límite existe y diverge si no existe o es infinito.
∫ ∞ ∫ b b
1) e-x dx = lim e-x dx = lim -e-x = lim (-e-b  +  1) = 1
0 b→∞ 0 b→∞ 0 b→∞
  PROPIEDADES Cosideramos que las integrales de f, g convergen.
 ∫ ∞ α∫ ∞ β∫ ∞
a) α·f ± β·g = f ± g converge V α , β € R
a a a
 ∫ ∞  ∫ c  ∫ ∞
b) f = f + f V c € [a , ∞)
a a c
 ∫ ∞  ∫ ∞
c) f ≤ g Si  f(x) ≤ g(x) V x € [a , ∞)
a a
  CRITERIO DE CONVERGENCIA
a) Primer criterio de comparación :
Si  0 ≤ f(x) ≤ g(x) V x € [a , ∞)
 ∫ ∞  ∫ ∞  ∫ ∞  ∫ ∞  ∫ ∞  ∫ ∞
f ≤ g Si g   converge f   tambien Si f   diverge g   tambien
a a a a a a
b) Segundo criterio de comparación : Sea  lim f(x) / g(x) = L ≥ 0
x→∞
Si  0 ≤ f(x) , 0 ≤ g(x) V x € [a , ∞)
 ∫ ∞  ∫ ∞
Si L > 0 f g Las dos convergen o divergen a la vez. (Tienen el mismo carácter)
a a
 ∫ ∞  ∫ ∞
Si L = 0 y g converge => f  converge
a a
 ∫ ∞  ∫ ∞
Si L = ∞ y g  diverge   => f  diverge
a a
  MODELOS PARA LOS CRITERIO DE COMPARACIÓN
∫ ∞
(1a) x-r dx Converge al valor [ - a1-r / (1-r) ] si  r > 1  y  Diverge si  r ≤ 1
a
∫ ∞
(1b) e-tx dx Converge al valor [ e-ta / t ] si  t > 0  y  Diverge si  t ≤ 0
a