INTEGRAL DEFINIDA o de RIEMANN

(Integrales propias)

-

Sea una función continua en un intérvalo finito [a,b].

-

La integral de Riemann es un número y se define como el área, en el plano xy, de la figura

geométrica delimitada por la función f(x) la recta "y=0", (eje x ) y las rectas "x=a" y "x=b".

Área

n

n

∫D

f(x)

I. Riemann

∫D

f(x)

ΣD

A n

ΣD

f(xn) Δxn

y

x=a

x=b

f(xn)

Altura = f(xn)

Es un limite

y

+

x

f(x)

nnn

A n

Base  = Δxn

n ~ ∞

a

b

y=0

x

D

A n = f(xn) Δxn

Δxn ~ 0

y

a

b

a

D=[a,b]

b

Δxn

∫D

f = 0·∞

-

x

-

D: Es la base sobre el eje x del área a calcular. Se llama dominio y es el intérvalo [a,b].

-

Δxn: Los n trozos iguales en los que se divide el dominio D. Se llama partición en D.

-

f(xn): Altura media a la que esta situada la tapa sobre la base para cada Δxn , tiene signo.

-

Integral de Riemann: Área entre, Dominio, f(x) y las Perpendiculares que delimitan a D

-

Regla de barrow: Establece la relación entre la integral de Rimann y la integral indefinida.

REGLA DE BARROW

y

∫

∫

∫

b

∫

f(x)

A)

(A)

f

=

f(x)  =

f(x) dx

= F(x)

b

= F(b)-F(a)

;

F(x) =

f(x) dx

a

a

b

x

D

[a,b]

a

∫

4

1)

2x dx  =

x2

4

=  42 - 22  =  16 - 4  =  12 u2

2

2

PROPIEDADES

∫

b

α∫

b

β∫

b

a)

α·f ± β·g

=

f

±

g

V α , β € R

a

a

a

∫

a

b)

f

=

0

a

∫

b

-∫

a

c)

f

=

f

a

b

∫

b

∫

c

∫

b

d)

f

=

f

+

f

V c € (a , b)

a

a

c

∫

b

e)

f

<

0

si f(x) < 0

V x € [a , b]

(Tambien se cumple el caso contrario)

a

∫

b

∫

b

f)

f

≤

g

si f(x) ≤ g(x)

V x € [a , b]

(Tambien se cumple el caso contrario)

a

a

CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

y

f(x)

∫

b

∫

c

-∫

d

+∫

b

B)

+

+

(B)

Área =

f

=

f

f

f

c,d cortes con el eje x

a

c

-

d

b

x

a

a

c

d

y

C)

f(x)

∫

b

(C)

Área =

h

con  h(x) = f(x) - g(x)  y  f(x) ≥ g(x)  en  [a,b]

g(x)

a

y

a

b

x

f(x)

D)

+

+

-

g(x)

∫

b

∫

c

-∫

d

+∫

b

(D)

Área =

h

=

h

h

h

c,d cortes entre f , g

a

c

d

b

x

a

a

c

d