FUNCIÓN HOMOGENEA

Ejercicios 6

∂2 f

∂2 f

1)

Sea la función homogenea

f(x, y)

= ey/x

Calcular razonadamente :

(1,1)+

(1,1)

∂x2

∂x ∂y

∂2 f

∂2 f

∂

∂ f

∂

∂ f

∂g

∂g

(1,1)+

(1,1)

=

(1,1)+

(1,1)+

=

1

(1,1)   +

1

(1,1)

∂x2

∂x ∂y

∂x

∂x

∂y

∂x

∂x

∂y

∂ f

Donde g  =

=

-y/x2 ey/x

;

g(λx , λy)

=

-λy/λ2x2 eλy/λx =

- λ-1 y/x2 ey/x

=

λ-1 g(x,y)

∂x

g  es homogénea de grado -1

∂g

∂g

1

(1,1)  +

1

(1,1)

=

(-1)

g(1,1)

= (-1)(-e)

=

e

aplicando el teorema de Euler

∂x

∂y

∂ f

2)

Sea f(x,y) una función homogenea de grado 2 tal que f(1,2) = 1 y que

(1,2)=

3

∂x

∂ f

∂ f

∂ f

Calcular razonadamente : f(1/2, 1)

;

(1,2)

;

2

(2,4)

+ 4

(2,4)

∂x

∂x

∂y

f(1/2, 1) = f( 1/2·(1,2) ) = (1/2)2 f(1,2) = 1/4

( λ=1/2  y  f es homogénea de grado 2 )

∂ f

∂ f

∂ f

(2,4)

=

(2·(1,2))  = 2

(1,2) = 2·3 = 6

( λ=2  y  ∂f/∂x  es homogénea de grado 1 )

∂x

∂x

∂x

∂ f

∂ f

2

(2,4)

+ 4

(2,4)

= 2 f(2,4) = 2 f(2·(1,2)) = 2·22 f(1,2) = 8

(Teorema de Euler)

∂x

∂y