FUNCIÓN HOMOGENEA

Sea una función ,

f :

A

→

R

donde A € Rn, definimos f como homogenea de grado α € R si :

f(λx) = λα f(x)

para V x € A, y  para V λ > 0

FUNCIÓN LINEALMENTE HOMOGENEA

Es cuando α = 1, es decir :

f(λx) = λ f(x)

PROPIEDADES

Si f , g son homogeneas de mismo grado α :

1)

f ± g es homogenea de grado α. (Suma o Resta de funciones)

Si f es homogenea de grado α  y  g es homogenea de grado β :

2)

f · g es homogenea de grado α + β.

3)

f / g es homogenea de grado α - β.

4)

f o g  ,  g o f  son homogeneas de grado α · β. (composición de funciones)

Si f es homogenea de grado α y existe el gradiente de f :

∂ f

5)

es homogenea de grado α -1 para cualquier k. (Derivada parcial de una función)

∂xk

TEOREMA DE EULER

Sea una función ,

f :

A

→

R

donde A € Rn  y existe el gradienrte de f, representado por  Gf.

Teorema:   La función f es homogenea de grado α ,  si y solo si , Gf(x) · x = α f(x).

TEOREMA DE EULER para n=1,2,3,··

Desarrollando el teorema obtenemos, a partir del producto escalar de los dos vectores,

(

∂ f

)

∂ f

Si n=1 :

Gf(x) · x =

(x)   =

x

= α f(x).

Es decir,

x · f '(x)

= α f(x).

∂x

∂x

Ejemplo:

f(x)

=

x3

Si es homogenea indicar el grado y aplicar el Teorema.

Solución:

f(λx)

=

λ3x3

= λ3 f(x)

homogenea de grado 3.

Teorema :

x · f '(x)

= 3 x3.

(

∂ f

∂ f

)

∂ f

∂ f

Si n=2 :

Gf(x) · x =

;

(x , y)

x

+y

= α f(x).

∂x

∂y

∂x

∂y

x(x+y)√(x2-y2)

Ejemplo:

f(x,y)

=

Si es homogenea indicar el grado y aplicar el Teorema.

(x-2y)√(x2+y2)

Solución:

λx(λx+λy)√(λ2x2-λ2y2)

λ3 x(x+y)√(x2-y2)

x(x+y)√(x2-y2)

f(λx , λy)

=

=

=

λ

=

λ f(x,y)

(λx-2λy)√(λ2x2+λ2y2)

λ2 (x-2y)√(x2+y2)

(x-2y)√(x2+y2)

∂ f

∂ f

x(x+y)√(x2-y2)

f(x,y) es homogenea de grado 1.

Teorema :

x

+y

=

∂x

∂y

(x-2y)√(x2+y2)

(

∂ f

∂ f

∂ f

)

∂ f

∂ f

∂ f

Si n=3 :

Gf(x) · x =

;

;

(x , y , z)

x

+y

+z

= α f(x).

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

x3+y3-z3ex/y

Ejemplo:

f(x,y,z) =

Si es homogenea indicar el grado y aplicar el Teorema.

√(x2+y2)

Solución:

λ3x3+λ3y3-λ3z3eλx/λy

λ3 (x3+y3-z3ex/y)

x3+y3-z3ex/y

f(λx , λy , λz) =

=

=

λ2

=

λ2 f(x,y,z)

√(λ2x2+λ2y2)

λ √(x2+y2)

√(x2+y2)

∂ f

∂ f

∂ f

x3+y3-z3ex/y

f(x,y,z) es homogenea de grado 2.

Teorema :

x

+y

+z

=

2

∂x

∂y

∂z

√(x2+y2)

(

∂ f

∂ f

∂ f

)

k=n

∂ f

Si n>0 :

Gf(x) · x =

;

··

(x1,··,xn)

∑ xk

= α f(x).

∂x1

∂x2

∂xn

∂xk

k=1