EXTREMOS CONDICIONADOS

Ejercicios 5

1)

Sea la función de coste

C(x, y, z)

=

xy + yz + zx

donde x , y , z son las cantidades de tres

factores productivos y se sabe que su disponibilidad esta restringida por,  x y z = 125.

Encontrar las cantidades de cada factor que minimizan la función de coste.

2)

Sea la función

f(x, y, z)

=

xy - yz - 6z

analizar (mediante el método de los multiplicadores

de Lagrange) los extremos de f condicionados por la restricción,  x3 + z3 = 2

3)

Dada la función

f(x,y,z)

=

x a e

y-z2

determinar el valor de a para que el punto (1,1,1) sea

punto crítico de  f  restringido a,  2x2 + y2 - 2z2 = 1 y calcular si (1,1,1) es mínimo, máximo o silla.

4)

Dada la función de utilidad

U(x, y, z)

=

L (x y2 z3)

de un consumidor donde  x , y , z > 0.

Calcular el máximo de la utilidad con la restricción presupuestaria,  x + 2y + 3z = 7

5)

Consideramos

f(x, y, z)

=

x 2 + y2 + b x y + a z

determinar la relación que debe de existir

entre a y b para que el punto (1,1,1) sea un punto crítico de  f  condicionado a, x2 + y2 + z2 = 3.

Dedinir para que valores de a y b el punto (1,1,1) es mínimo, máximo o silla. (Suponemos a ≠ 0,2)

6)

Estudiar los siguientes problemas de extremos condicionados :

Función

Restricciones

a)

f(x, y)

=

x2 - 3y2

y3 - x2 = 4

b)

f(x, y, z)

=

3x2 + 2y2 + z2 - 6x

x2 + y2 = 25

;

x + z = 0

c)

f(x, y, z)

=

z

x2 + y2 = 8

;

x + y + z = 5

d)

f(x, y)

=

y ex

x2 + y2 = 2

e)

f(x, y, z)

=

x2 + y2 + z2

z = x2 + y2

;

x2 - y2 = 4

f)

f(x, y, z)

=

2x + 2y + z

x2 + y2 - z2 = 7