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EXTREMOS
CONDICIONADOS |
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PUNTOS CRÍTICOS para funciones reales de
variable vectorial |
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Sea una función , |
f : |
Rn |
→ |
R |
de la que queremos calcular los puntos críticos
condicionados |
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a otra función , |
g: |
Rn |
→ |
Rm |
donde debe cumplirse que g(x) = 0 |
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MULTIPLICADOSRES DE LAGRANGE |
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Dados f(x) y g(x) construimos la función L(x, λ), que llamaremos función de Lagrange, de la |
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siguiente forma , como |
g = (g1 ,···, gm) |
se define |
L(x, λ) = f(x) + λ1·g1(x) + ··· +
λm·gm(x)· |
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donde x
= (x1 ,···, xn) ; λ = (λ1 ,···,
λm) |
Hemos construido una
función de n+m variables. |
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CÁLCULO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS |
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Resolvemos el siguiente sistema de n+m
ecuaciones com n+m incognitas : |
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∂L(x,λ) |
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∂L(x,λ) |
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= |
0 |
··· |
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= |
0 |
, |
g1(x) = 0 |
··· |
gm(x) = 0 |
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∂x1 |
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∂xn |
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Si las soluciones del
sistema son de la forma |
(x, λ) = (a1 ,···, an , α1 ,···, αm) |
los puntos |
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críticos de f(x) condicionados a g(x)=0 son de
la forma |
x = (a1 ,···, an) |
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Ejemplo: |
Puntos críticos de |
f(x1,x2) = (x1-2)2 + (x2-1)2 |
con la restricción |
g(x1,x2) = x1+x2 -2 |
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Solución : |
L(x1,x2,λ)
= |
(x1-2)2
+ (x2-1)2 |
+ |
λ (x1+x2 -2) |
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2x1 - 4 + λ = 0 |
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x1 = 3/2 |
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∂L |
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∂L |
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= |
2(x1-2) + λ |
; |
= |
2(x2-2) + λ |
; |
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2x2 - 2 + λ = 0 |
Solución
: |
x2 = 1/2 |
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∂x1 |
∂x2 |
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x1 + x2 - 2 = 0 |
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λ = 1 |
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∂2L |
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∂2L |
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∂2L |
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∂2L |
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= |
2 |
; |
= |
2 |
; |
= |
= |
0 |
; |
HL(x1 , x2 , λ) = |
( |
2 |
0 |
) |
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∂x12 |
∂x22 |
∂x1∂x2 |
∂x2∂x1 |
0 |
2 |
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Como el hessiano es definido positivo el
punto (3/2,1/2) es un mínimo condicionado. |
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Ejemplo: |
Puntos críticos de |
f(x1,x2) = x1 + x2 |
con la restricción |
g(x1,x2) = x12 + x22 - 1 |
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Solución : |
L(x1,x2,λ)
= |
x1 + x2 + λ (x12 + x22 - 1) |
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1 + 2λx1 = 0 |
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x1 = -1/√2 |
x1 = 1/√2 |
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∂L |
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∂L |
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= |
1 + 2λx1 |
; |
= |
1 + 2λx2 |
; |
1 + 2λx2 = 0 |
Soluciónes: |
x2 = -1/√2 |
x2 = 1/√2 |
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∂x1 |
∂x2 |
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x12+x22-1 = 0 |
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λ =
1/√2 |
λ = -1/√2 |
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∂2L |
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∂2L |
|
∂2L |
|
∂2L |
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= |
2λ |
; |
= |
2λ |
; |
= |
= |
0 |
; |
HL(x1 , x2 , λ) = |
( |
2λ |
0 |
) |
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∂x12 |
∂x22 |
∂x1∂x2 |
∂x2∂x1 |
0 |
2λ |
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HL(-1/√2 , -1/√2 , 1/√2) = |
( |
2/√2 |
0 |
) |
Es Def. Pos., (-1/√2
, -1/√2) es mín. cond. |
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0 |
2/√2 |
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HL(1/√2 , 1/√2 , -1/√2) = |
( |
-2/√2 |
0 |
) |
Es Def. Neg., (1/√2
, 1/√2) es máx. cond. |
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0 |
-2/√2 |
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