POLINOMIO DE TAYLOR

APROXIMACIÓN de una FUNCIÓN en R

df(x)

=

f(p) + f '(p)·(x-p)

df(x) es la recta tangente a f(x) en x = p

df(p)

=

f(p) + f '(p)·(p-p)

La recta coincide con f(x) en x = p

f(x)

≈

f(p) + f '(p)·(x-p)

La recta se aproxima a f(x) para x cercano a p

POLINOMIO DE TAYLOR de 1er grado en R

P1,P(x)

=

f(p) + f '(p)·(x-p)

P1,P(x) Recta tangente a f(x) en x = p

P1,P(p)

=

f(p)

P1,P(x)  y  f(x)  coinciden en p

P1,P'(p)

=

f '(p)

P1,P'(x)  y  f '(x)  coinciden en p

Ejemplo:

Calcular el polinomio de primer grado que mejor se aproxima a  f(x) = ex  en  x = 0.

Solución:

Este polinomio es P1,0(x) , que es

P1,0(x)

=

f(0) + f '(0)·(x-0)

como   f(x)= ex ; f '(x)=ex

;

f(0)=1 ; f '(0)= 1

;

P1,0(x) = 1 + x

;

ex

≈

1 + x

POLINOMIO DE TAYLOR de 2º grado en R

Se puede obtener una mejor aproximación de f(x) añadiendo un termino de 2º grado como,

P2,P(x)

=

f(p) + f '(p)·(x-p) + 1/2 f ''(p)·(x-p)2

P2,P(x) Parabola tangente a f(x) en x = p

P2,P(p)

=

f(p)

P2,P(x)  y  f(x)  coinciden en p

P2,P'(p)

=

f '(p)

P2,P'(x)  y  f '(x)  coinciden en p

P2,P''(p)

=

f ''(p)

P2,P''(x)  y  f ''(x)  coinciden en p

Ejemplo:

Calcular el polinomio de 2º grado que mejor se aproxima a  f(x) = ex  en  x = 0.

Solución:

Este polinomio es P2,0(x) , que es

P2,0(x)

=

f(0) + f '(0)·(x-0) + 1/2 f ''(0)·(x-0)2

como   f ''(x)=ex

;

f ''(0)= 1

;

P2,0(x) = 1 + x + x2/2

;

ex

≈

1 + x + x2/2

POLINOMIO DE TAYLOR de grado n en R

Se pueden añadir tantos terminos como se quiera teniendo siempre la siguiente expresión,

Tk,P(x) = 1/k! f k)(p)·(x-p)k

El polinomio asi construido tiene la propiedad de que siempre coincide

con f(x) en x = p y tambien en sus n derivadas consecutivas.

k=n

Polinomio de Taylor de grado n:

Pn,P(x) =

T0,P(x) + T1,P(x) + T2,P(x) + ··· + Tn,p(x) =

∑

Tk,P(x)

T0,P(x)= 1/0! f 0)(p)·(x-p)0

como 0!=1 , f 0)(x)=f(x) , (x-p)0=1

T0,P(x) =        f(p)

k=0

T1,P(x)= 1/1! f 1)(p)·(x-p)1

como, 1!=1 , f 1)(x)=f '(x)

T1,P(x) =        f '(p)·(x-p)

T2,P(x)= 1/2! f 2)(p)·(x-p)2

como, 2!=2 , f 2)(x)=f ''(x)

T2,P(x) =1/2  f ''(p)·(x-p)2

T3,P(x)= 1/3! f 3)(p)·(x-p)3

como, 3!=6 , f 3)(x)=f '''(x)

T3,P(x) =1/6  f '''(p)·(x-p)3

APROXIMACIÓN de una FUNCIÓN en Rn

df(x)

=

f(p) + Gf(p)·(x-p)

df(x) es el hiperplano tangente a f(x) en x = p

df(p)

=

f(p) + Gf(p)·(p-p)

El hiperplano coincide con f(x) en x = p

f(x)

≈

f(p) + Gf(p)·(x-p)

El hiperplano se aproxima a f(x) para x cercano a p

POLINOMIO DE TAYLOR de grado 2 en Rn

P2,P(x) =

T0,P(x) + T1,P(x) + T2,P(x)

T0,P(x) = f(p)

T1,P(x) = Gf (p)·(x-p)

P2,P(x)

= f(p)

+ Gf (p)·(x-p)

+ 1/2 (x-p)t·Hf(p)·(x-p)

T2,P(x) =1/2 (x-p)t·Hf(p)·(x-p)

Ejemplo:

Calcular el polinomio de 2º grado que mejor se aproxima a  f(x) = ex+y  en  x = (0,0).

Solución:

Este polinomio es   P2,0(x)

= f(0)

+ Gf (0)·(x-0)

+ 1/2 (x-0)t·Hf(0)·(x-0)

f(x)=fx(x)=fy(x)=f2x,x(x)=f2y,y(x)=f2x,y(x) = ex+y

;

f(0)=1

;

Gf (0)=(1,1)

;

Hf (0)

= (

1

1

)

1

1

P2,0(x,y)  =  1 + (1,1)(

x

) + 1/2 (x,y)(

1

1

)(

x

)

=

1 + (x+y) + 1/2 (x+y , x+y)(

x

)

y

1

1

y

y

P2,0(x,y)

= 1 + (x+y) + 1/2 (x+y)x + 1/2 (x+y)y

;

ex+y

≈

1 + (x+y) + (x+y)2/2