DIFERENCIAL de una función COMPUESTA Soluciones 2
∂I ∂I
q1(K,L) = 5·K + L
1) Calcular ; donde I(q1,q2) = q12 · q2 con
∂K ∂L q2(K,L) = 6·K + 2·L
Solución : ∂I ∂I ∂q1 ∂I ∂q2
= · + · = (2q1q2) 5 + (q12) 6 = 450 k2 + 220 K L + 26 L2
∂K ∂q1 ∂K ∂q2 ∂K
∂I ∂I ∂q1 ∂I ∂q2
= · + · = (2q1q2) + (q12) 2 = 110 k2 + 52 K L + 6 L2
∂L ∂q1 ∂L ∂q2 ∂L
∂z
x=g(t) = sen t
2) Calcular  (0) donde z(x,y) = x2 y - y3 con
∂t y=h(t) = et
Solución :
∂z ∂z dx ∂z dy
Si  t = 0 ; x = sen 0 = 0 ; y = e0 = 1 ; con (0) = (0,1) (0) + (0,1) (0)
∂t ∂x dt ∂y dt
∂z dx ∂z dy ∂z
= 2xy = 0 ; = cos t  = 1 ; = x2 - 3y2 = -3 ; = et = 1 ; (0) = (0)·(1)+(-3)·(1) = -3
∂x dt ∂y dt ∂t
∂f ∂f ∂f
3) Comprobar que x +y +z = 3 donde f(x,y,z) = L (x3+y3+z3 - 3xyz) = L u
∂x ∂y ∂z
∂f 3x2 - 3yz ∂f 3y2 - 3xz ∂f 3z2 - 3xy
Solución : = ; = ; =
∂x u ∂y u ∂z u
∂f ∂f ∂f 3x2 - 3yz 3y2 - 3xz 3z2 - 3xy 3x3 + 3y3 + 3z3 - 9xyz 3u
x +y +z = + + = = = 3
∂x ∂y ∂z u u u u u
∂z ∂z
x(u,v) = u2 + v
4) Calcular  (u=1,v=1) ; (u=0,v=1) donde z(x,y) = y3 - 3x2y con
∂u ∂v y(u,v) = u / v
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
Solución : = · + · = (-6xy) · (2u) + (3y2 -3x2) · (1/v)
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂z
Si u=1 ; v=1 con x=2 ; y=1  ; (u=1,v=1) = (-12) · (2) + (12 -3) · (1/1) = -24 + 9 = -15
∂u
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= · + · = (-6xy) · (1) + (3y2 -3x2) · (-u/v2)
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
∂z
Si u=0 ; v=1 con x=1 ; y=0  ; (u=0,v=1) = (0) · (1) + (-3) · (0) = 0
∂v
∂2f ∂2f ey - e-y
5) Comprobar que + = 0 donde f(x,y) =  sen x
∂x2 ∂y2 2
∂f ey-e-y ∂f ey+e-y ∂2f ∂2f ey-e-y ey-e-y
= cos x ; = sen x ; + = (-sen x)+ sen x = 0
∂x 2 ∂y 2 ∂x2 ∂y2 2 2
∂u
x = cos t
6) Calcular  donde u = y2 - x con
∂t y = sen t
du ∂u dx ∂u dy
Solución : = · + · = (-1)·(-sen t) + (2y)·(cos t)   = sen t + 2y cos t =
dt ∂x dt ∂y dt
= sen t + 2 sen t cos t = sen t + sen (2t)
x = 1
dx = 0,01
u = x3y2
7) Calcular dz si ; donde   z = u + v   con
y = z dy = 0,02 v = x2y3
Solución : z = u + v  ; dz = du + dv  = 0,02 z3 + 0,09 z2 + 0,04 z = 0,02·z·(z+˝)·(z+4)
∂u ∂u
du = dx + dy = 3x2y2 dx + 2x3y dy =  3·12·z2·0,01 + 2·13·z·0,02 = 0,03 z2 + 0,04 z
∂x ∂y
∂v ∂v
dv = dx + dy = 2xy3 dx + 3x2y2 dy =  2·1·z3·0,01 + 3·12·z2·0,02 = 0,02 z3 + 0,06 z2
∂x ∂y