DIFERENCIAL de una función COMPUESTA
Sea una función , f : Rn → Rm tal que f es diferenciable en acon f(a) = b
a → b
y otra función , g : Rm → R tal que g es diferenciable en bcon g(b) = c
b → c
Sea h la función , h : Rn → Rm → R es decir , h : Rn → R compuesta de f con g.
a → b → c   a → c
la función  h(x) = (g ◦ f) (x)  tambien es diferenciable en a y ademas dh(a) = dg(b) ◦ df(a)
Escrito en notación matricial : Gh(a) = Gg(b) · Jf(a)
  REGLA DE LA CADENA
        h               f   g    
  g ◦ f : Rn → R     g ◦ f : Rn → Rm → R  
       
  x → z     x → y → z  
      a → c           a → b → c  
∂z ∂z ∂z ∂z
∂y1 ∂y1
(a) ··· (a)
∂x1 ∂xn
Gh(a) = ( (a) ··· (a) ) Gg(b) · Jf(a) = ( (b) ··· (b) )
∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym ··· ··· ···
∂ym ∂ym
(a) ··· (a)
∂x1 ∂xn
  DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
dz   ∂z   dy
Si z = f(y)  con  y = g(x) = ·
dx ∂y dx
   
dz   ∂z   ∂z   dy
Si z = f(x,y)  con  y = g(x) = + ·
dx ∂x ∂y dx
     
x = h(t) dz   ∂z   dx   ∂z   dy
Si z = f(x,y)  con = · + ·
y = g(t)  dt ∂x dt ∂y dt
       
x = h(s,t) ∂z   ∂z   ∂x   ∂z   ∂y ∂z   ∂z   ∂x   ∂z   ∂y
Si z = f(x,y)  con = · + · = · + ·
y = g(s,t)  ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
               
  DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN
    ∂z     ∂z  
Si z = f(x,y) dz = dx + dy
∂x ∂y