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| DIFERENCIAL de funciones Reales |
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Soluciones 1 |
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| 1) |
Ecuación del plano tangente y recta
normal a la superficie : |
z = x2 + y2 - 2xy + 2y - 2 |
en (1,2,3). |
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Solución : |
Tenemos la función implicita |
F(x,y,z) |
= |
x2 + y2 - 2xy + 2y - z - 2 |
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Derivadas parciales: |
Fx(x,y,z) |
= |
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Fy(x,y,z) |
= |
2y-2x+2 |
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Fy(1,2,3) = 4 |
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F(1,2,3) = (-2,4.-1) |
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Fz(x,y,z) |
= |
- 1 |
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Fz(1,2,3) = - 1 |
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Plano tangente en (1,2,3): |
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- 2(x-1) +
4(y-2) - 1(z-3) = 0 |
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; |
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2x - 4y + z -
3 = 0 |
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| Punto de la recta (1,2,3) |
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x
- 1 |
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y
- 2 |
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z
- 3 |
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Recta normal al plano tangente: |
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= |
= |
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Vector director (-2,4,-1) |
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-2 |
4 |
-1 |
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| 2) |
Ecuación del plano tangente y recta
normal al hiperboloide : |
z2 - 2x2 - 2y2 - 12 = 0 |
en (1,-1,4). |
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Solución : |
Tenemos la función implicita |
F(x,y,z) |
= |
z2 - 2x2 - 2y2 - 12 |
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Derivadas parciales: |
Fx(x,y,z) |
= |
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Fy(x,y,z) |
= |
- 4y |
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Fy(1,-1,4) = 4 |
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F(1,-1,4) = (-4,4.8) |
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Fz(x,y,z) |
= |
2z |
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Fz(1,-1,4) = 8 |
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Plano tangente en (1,-1,4): |
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- 4(x-1) +
4(y+1) + 8(z-4) = 0 |
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; |
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x - y - 2z + 6 = 0 |
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Punto de la recta (1,-1,4) |
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x
- 1 |
|
y
+ 1 |
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z
- 4 |
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Recta normal al plano tangente: |
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= |
= |
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Vector director (-4,4,8) |
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-4 |
4 |
8 |
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| 3) |
Ec. de los planos tangentes a la superf. : |
x2 + 2y2 + 3z2 = 21 |
paralelos al plano |
x + 4y + 6z = 0 |
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Solución : |
Tenemos la función implicita |
F(x,y,z) |
= |
x2 + 2y2 + 3z2 - 21 |
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Derivadas parciales: |
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Fx(x,y,z) |
= |
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Fy(x,y,z) |
= |
4y |
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F(x,y,z) = (2x,4y,6z) |
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Fz(x,y,z) |
= |
6z |
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El gradiente en (x0,y0,z0) debe ser paralelo al vector normal (1,4,6) del plano dado, por
lo que |
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debe ser proporcional al mismo |
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F(x0,y0,z0) = (2x0,4y0,6z0) = λ (1,4,6) =
(λ,4λ,6λ) |
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Podemos expresar (x0,y0,z0) en función de λ y ademas debe pertenecer a la superficie,
luego |
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2x0 = λ |
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(λ/2)2 + 2λ2 + 3λ2 = 21 |
; |
λ2 + 8λ2 + 12λ2 = 84 |
; |
21λ2 = 84 |
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4y0 = 4λ |
y0 = λ |
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λ2 = 84/21 |
; |
λ = ±2 |
Hay dos puntos de la superficie. |
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6z0 = 6λ |
z0 = λ |
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Para λ = 2 |
(x0,y0,z0) = (1,2,2) |
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F(1,2,2) = (2,8,12) |
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Plano: |
2(x-1)
+ 8(y-2) + 12(z-2) = 0 |
; |
x + 4y + 6z -21
= 0 |
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Para λ =
-2 |
(x0,y0,z0) = (-1,-2,-2) |
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F(-1,-2,-2) = (-2,-8,-12) |
Plano: |
-2(x+1)
- 8(y+2) - 12(z+2) = 0 |
; |
x + 4y + 6z +21
= 0 |
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| 4) |
Dada la superficie |
z = x exy-2 |
se pide: |
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(a) Hallar la ecuación del plano tangente a la
superficie en el punto P(2,1,2). |
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(b)
Usar el plano tangente para obtener una aproximación del valor de z en el
punto (1,9 ; 1,02). |
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Solución : |
Tenemos la función implicita |
F(x,y,z) |
= |
x exy-2 - z |
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(a) |
Derivadas parciales: |
Fx(x,y,z) |
= |
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Fx(2,1,2) |
= |
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Fy(x,y,z) |
= |
x2 exy-2 |
|
Fy(2,1,2) |
= |
4 |
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F(2,1,2) = (3,4,-1) |
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Fz(x,y,z) |
= |
- 1 |
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Fz(2,1,2) |
= |
-1 |
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Plano tangente en (2,1,2): |
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3(x-2)
+ 4(y-1) - 1(z-2) = 0 |
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; |
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3x + 4y - z - 8
= 0 |
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(b) |
Despejamos z del plano tg. |
z = 3x + 4y - 8 |
luego |
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z(1,9;1,02) ≈
3·1,9 + 4·1,02 - 8 = 1,78 |
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