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DIFERENCIAL
de funciones Reales |
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ECUACIÓN del HIPERPLANO en Rn |
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Sea , |
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f : |
Rn |
→ |
R |
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la función que representa un hiperplano
que pasa por a |
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x = |
(x1,···,xn) |
→ |
xn+1 |
con |
xn+1= f(x1,···,xn) |
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xn+1-an+1 = m1(x1-a1) +···+ mn(xn-an) |
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a = |
(a1,···,an) |
→ |
an+1 |
con |
an+1= f(a1,···,an) |
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∂ f |
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Con "mk" la pendiente de la recta que forma al cortar el plano
"xk xn+1" |
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mk |
= |
(a1,···,an) |
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∂xk |
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HIPERPLANO para n = 1 |
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Sea , |
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f : |
R |
→ |
R |
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la función que representa un hiperplano
que pasa por a |
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x = x |
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x |
→ |
y |
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con |
y
= f(x) |
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y-y0 = m (x-x0) |
Ec. de una recta |
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a = x0 |
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x0 |
→ |
y0 |
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con |
y0 = f(x0) |
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∂ f |
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Con "m" la pendiente de la
recta en el plano "x y" |
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m |
= |
(x0) = |
f '(x0) |
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∂x |
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HIPERPLANO para n = 2 |
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Sea , |
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f : |
R2 |
→ |
R |
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la función que representa un hiperplano
que pasa por a |
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x=(x,y) |
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(x,y) |
→ |
z |
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con |
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z-z0 = m1(x-x0) + m2(y-y0) |
Ec. de un plano |
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a=(x0,y0) |
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(x0,y0) |
→ |
z0 |
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con |
z0 = f(x0,y0) |
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∂ f |
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Con "m1" la pendiente de la recta que forma al cortar el plano
"x z" |
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m1 |
= |
(x0,y0) |
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∂x |
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∂ f |
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Con "m2" la pendiente de la recta que forma al cortar el plano
"y z" |
|
m2 |
= |
(x0,y0) |
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∂y |
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HIPERPLANO para n = 3 |
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Sea , |
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f : |
R3 |
→ |
R |
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la función que representa un hiperplano
que pasa por a |
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x=(x,y,z) |
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(x,y,z) |
→ |
t |
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con |
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t-t0 = m1(x-x0) + m2(y-y0) + m3(z-z0) |
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a=(x0,y0,z0) |
(x0,y0,z0) |
→ |
t0 |
|
con |
t0 = f(x0,y0,z0) |
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∂ f |
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Con "m1" la pendiente de la recta que forma al cortar el plano
"x t" |
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m1 |
= |
(x0,y0,z0) |
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∂x |
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∂ f |
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Con "m2" la pendiente de la recta que forma al cortar el plano
"y t" |
|
m2 |
= |
(x0,y0,z0) |
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∂y |
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∂ f |
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Con "m3" la pendiente de la recta que forma al cortar el plano
"z t" |
|
m3 |
= |
(x0,y0,z0) |
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∂z |
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DIFERENCIAL en un PUNTO a en Rn |
[ Gf(a)
representa el gradiente de f en a ] |
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| - |
Sea , |
f : |
Rn |
→ |
R |
la diferencial de f en a es la función del hiperplano tangente
en a si existe, |
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x=(x1,··,xn) |
→ |
xn+1 |
con |
|
xn+1 = |
f(x) |
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xn+1 - an+1 = m1(x1-a1) + ··· + mn(xn-an) |
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a=(a1,··,an) |
→ |
an+1 |
con |
|
an+1 = |
f(a) |
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es decir |
df : |
Rn |
→ |
R |
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∂ f |
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mk |
= |
(a) luego |
(m1,···,mn) = G f(a) |
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(x - a) |
→ |
m1(x1-a1) + ··· + mn(xn-an) |
∂xk |
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| - |
df |
Es una aplicación lineal y le corresponde una matriz asociada, que es
: |
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x1-a1 |
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df(x-a) = (m1 , ··· , mn) |
··· |
= (m1,···, mn)(x-a) = (m1,···,mn)·v = G f(a)·v |
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xn-an |
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donde x representa un punto cualquiera sobre el hiperplano tangente en a y v representa una |
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dirección cualquiera desde a sobre el hiperplano tangente. |
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| - |
df es lineal e igual a
f en a: |
df(x-a) = df(x)-df(a) =
df(x)-f(a) = G f(a)·(x-a) |
al despejar |
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df(x) queda: |
df(x) = f(a) + G f(a)·(x-a) |
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Ec. del hiperplano tangente a f(x) en a |
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FUNCIÓN DIFERENCIABLE |
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Es aquella en la que para cualquier a existe la df(x), es
decir, el hiperplano tangente a f(x) en a. |
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