DERIVADA PARCIAL de funciones Reales (cont.)
Sea, A contenido en Rn  tal que , f : A → R sea a €
A ,
sea v € Rn con v ≠ 0
  GRADIENTE de una FUNCIÓN en un PUNTO
 
Vector con todas las derivadas parciales y se representa por :
f(a)
= ( D1 f(a) , ··· , Dn f(a) )
∂ f ∂ f
GRADIENTE de una FUNCIÓN de R2 :
f(a)
= ( (a) , (a) )
∂x ∂y
  DERIVADAS PARCIALES y CONTINUIDAD en un PUNTO
 
En Rn una función para la que existan todas las derivadas parciales en un punto no tiene porque
ser continua en ese punto.
  DERIVADAS PARCIALES de segundo orden en un PUNTO
 
Dados dos vectores de la base canónica xi , xk , la derivada de 2º orden se representan por
∂ ∂ f ∂2 f
Dk (Di f ) (a) = D2k,i f(a) = ( ) (a) = (a)
∂xk ∂xi ∂xk ∂xi
  TEOREMA DE SCHWARTZ
  ∂2 f ∂2 f
Si existen la derivadas de 2º orden para xi , xk luego : (a) = (a)
∂xk ∂xi ∂xi ∂xk
  MATRIZ HESSIANA  en un PUNTO
  D211 f(a) ,···, D21n f(a)
Matriz con todas las derivadas parciales de 2º orden  : Hess f(a) =
··· ··· ···
Por el teorema de Schwarts, la matriz es simétrica. D2n1 f(a) ,···, D2nn f(a)
  DERIVADA PARCIAL de funciones Vectoriales
Sea, A contenido en Rn  tal que , f : A → Rm sea a €
A ,
sea v € Rn con v ≠ 0
y con , f(a) = ( f1(a) , f2(a) , ··· , fm(a) ) donde f es vectorial y las fi son reales.
  DERIVADA en un PUNTO según la dirección de un vector
  Dvf1(a)
f es derivable en a en la dirección de v y se representa por Dvf(a) =
···
solo en caso de existir todas las derivadas de las fi Dvfm(a)
∂ f1
  DERIVADA PARCIAL en un PUNTO Dkf1(a) (a)
  ∂xk
Es la derivada en a en la dirección ek € base canónica : Dk f(a) = ··· =
···
Dkfm(a) ∂fm
(a)
∂xk
 
MATRIZ JACOBIANA en un PUNTO
∂ f1 ∂ f1
  D1f1(a)  · ·  Dnf1(a)
(a) ··· (a)
Matriz con todas las derivadas ∂x1 ∂xn
Jac f(a) = ··· ··· =
parciales de todas las fi  : ··· ··· ···
D1fm(a) · ·  Dnfm(a) ∂fm ∂fm
(a) ··· (a)
∂x1 ∂xn