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DERIVADA
PARCIAL de funciones Reales |
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Sea, A contenido en Rn tal que , |
f : |
A |
→ |
R |
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sea a € |
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sea v € |
Rn |
con v ≠ 0 |
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DERIVADA en un PUNTO según la dirección
de un vector |
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f(a+λv)-f(a) |
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f es derivable en a en la
dirección de v y se
representa por |
fv'(a) |
si existe |
lim |
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λ |
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λ→0 |
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DERIVADA DIRECCIONAL en un PUNTO |
(Hay infinitas derivadas direccionales en un punto) |
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Es la derivada en a en la
dirección de v donde ||v|| = 1 y se
representa por |
Dvf(a) |
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DERIVADA PARCIAL en un PUNTO |
(Solo hay n derivadas parciales en un punto) |
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∂ f |
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Es la derivada en a en la
dirección de ei € base
canónica y se representa por |
Di f(a) = |
(a) |
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∂xi |
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DERIVADAS PARCIALES en R2 : |
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Sea
f(x,y) = z |
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Sea
p = (a,b) |
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∂ f |
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∂ f |
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Como x1 = x |
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D1 f(p) = |
D1 f(a,b) |
= |
(a,b) |
= |
Dx f(a,b) |
= |
(a,b) |
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∂x1 |
∂x |
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∂ f |
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∂ f |
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Como x2 = y |
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D2 f(p) = |
D2 f(a,b) |
= |
(a,b) |
= |
Dy f(a,b) |
= |
(a,b) |
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∂x2 |
∂y |
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CONCEPTO de la DERIVADA PARCIAL en un
punto |
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CALCULO de la DERIVADA PARCIAL en un
punto |
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∂ f |
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f( (a,b) + λ(1,0) ) - f(a,b) |
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f(a+λ , b) - f(a,b) |
|
g(a+λ)
- g(a) |
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(a,b) |
= |
lim |
= |
lim |
= |
lim |
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∂x |
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λ |
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λ |
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λ |
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λ→0 |
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λ→0 |
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λ→0 |
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Como la "y" no varia con
respecto del limite, podemos considerar que f(x,y) es una función g(x) |
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de una sola variable "x" donde
"y" no varia respecto de λ. |
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∂ f |
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∂ |
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Ejemplo : |
(1,2) |
con |
f(x,y) = 2xy2+x |
;
f(x,2) = 9x |
; |
g(x) = 9x |
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|
f(1,2) |
= |
g' (1) |
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∂x |
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∂x |
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| - |
De ello se deduce que podemos aplicar el
cálculo de la derivada tradicional considerando "y" cte. |
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| - |
Tambien para "y" podemos
aplicar el cálculo de la derivada tradicional considerando "x" cte. |
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Ejemplo : |
Calcular las dos derivadas parciales para |
f(x,y) = 2xy2+x |
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∂ f |
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f(1+λ,2)
- f(1,2) |
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8(1+λ)+(1+λ)-9 |
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∂ |
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∂ f |
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(1,2)= |
lim |
= |
lim |
= |
9 |
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f(x,y)= |
2y2+1 ; |
(1,2)= |
9 |
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∂x |
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|
λ |
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|
λ |
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∂x |
∂x |
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λ→0 |
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λ→0 |
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∂ f |
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f(1,2+λ)
- f(1,2) |
|
2(2+λ)2+1-9 |
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∂ |
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|
∂ f |
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(1,2)= |
lim |
= |
lim |
= |
8 |
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f(x,y)= |
4xy |
; |
(1,2)= |
8 |
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∂y |
|
|
λ |
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|
λ |
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∂y |
∂y |
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λ→0 |
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λ→0 |
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