DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

función REAL de variable REAL

(Repaso)

Sea, A contenido en R  tal que ,

f :

A

→

R

Sea a €

A

DERIVADA en un PUNTO

f(x) - f(a)

x-a=h

f(a+h) - f(a)

f es derivable en a :

Si existe

lim

Si

lim

x - a

x=a+h

h

x→a

h→0

CONCEPTO de DERIVADA

Si consideramos el punto p=(a,f(a)), la derivada en este punto

y

es la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en "p"

f(a)

p

x

a

DERIVADA LATERAL en un PUNTO

f(a+h) - f(a)

Derivada en un punto por la izquierda :

Si existe

lim

=

f-'(a)

h

h→0--

f(a+h) - f(a)

Derivada en un punto por la derecha ..:

Si existe

lim

=

f+'(a)

h

h→0+

Derivada en un punto …………………. :

Si existen y coinciden

f-'(a)

=

f+'(a)

=

f '(a)

FUNCIÓN DERIVADA

Es la función que asocia a cada x€

A

su derivada f '(x) = f 1)(x)

DERIVADAS SUCESIVAS

Derivada de la derivada, f ''(x) = f 2)(x). En general f n)(x)

TIPOS DE PUNTOS SEGÚN LAS DERIVADAS EN ESE PUNTO

Puntos crítico :

De 1er orden si f '(x) = 0,

de 2o orden si f ''(x) = 0,

de orden n si f n)(x) = 0

Máximo relativo en a ……..:

Si  f '(a) = 0  y  ······ y  f n-1)(a) = 0 y  f n)(a) < 0  y  n es par.

Mínimo relativo en a ……...:

Si  f '(a) = 0  y  ······ y  f n-1)(a) = 0 y  f n)(a) > 0  y  n es par.

Inflexión en a ……………...:

Si  f '(a) ≠ 0 y f ''(a) = 0

Función creciente en a ….:

Si  f '(a)  > 0

Función decreciente en a :

Si  f '(a)  < 0

Función convexa en a …..:

Si  f ''(a) > 0

Función concava en a …..:

Si  f ''(a) < 0

TEOREMAS sobre DERIVADAS en un PUNTO

TEOREMA de CONTINUIDAD :

Si f(x) es dirivable en un punto "a" implica que f(x) es continua en "a"

TEOREMA de ROLLE:

f(a)

f(b)

Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y f(a)=f(b)  implica que

existe p€(a,b) tal que f '(p)=0

[a

b]

x

TEOREMA del VALOR MEDIO:

p

f(b)

Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) implica que existe p€(a,b)

f(a)

f(b) - f(a)

p€(a,b) tal que f '(p)=

b - a

[a

b]

x

p

TEOREMA de CAUCHY:

Si f y g son continuas en [a,b] y derivables en (a,b) => existe p€(a,b) /

f '(p)

=

f(b) - f(a)

Si g(x) = x , obtenemos el teorema del valor medio.

g '(p)

g(b) - g(a)

T.Rolle a h(x) = [g(b)-g(a)]·[f(x)-f(a)] - [f(b)-f(a)]·[g(x)-g(a)] , h(a)=h(b)=0

REGLA de L'HÔPITAL:

Sean f y g funciones tales que

lim f(x) =

lim g(x) = 0

siendo g(x) ≠ 0 en un entorno de "a"

x→a

x→a

f(x)

f '(x)

entonces

lim

=

lim

tambien funciona si

lim f(x) =

lim g(x) = ∞

g(x)

g '(x)

x→a

x→a