CONTINUIDAD DE FUNCIONES

en Rn

CONTINUIDAD en un PUNTO (funciones cualesquiera)

Sea, A contenido en Rn, el dominio de una función, tal que ,

f :

A

→

Rm

Se dice que f es continua en a:

Si existe

lim f(x)

y  si existe f(a)  y

lim f(x) = f(a)

x→a

x→a

REPASO PARA FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

CONTINUIDAD LATERAL en un PUNTO

Función continua por la izquierda :

Si

lim f(x) = f(a)

x→a--

Función continua por la derecha ..:

Si

lim f(x) = f(a)

x→a+

Función continua …………………. :

Si

lim f(x) =

lim f(x) = f(a)

<=>

lim f(x) = f(a)

x→a--

x→a+

x→a

DISCONTINUIDADES

a)

Evitable …………..…:

Si existe

lim f(x)  y

lim f(x) ≠ f(a)

a)

x→a

x→a

a

b)

Inevitable 1ª especie:

No existe

lim f(x)  y

existen todos los lim laterales.

b)

x→a

a

c)

Inevitable 2ª especie:

No existe

lim f(x)  y

no existe algún lim lateral.

c)

x→a

a

CONTINUIDAD en un INTERVALO

TEOREMA de BOLZANO :

Si f(x) es continua en [a,b] y cambia de signo

+

b]

x

en los extremos del intervalo,  f(x)=0 en algún x€(a,b)

[a

--

TEOREMA de WEIERSTRASS:

Si f(x) es continua en [a,b] , f(x) tiene

máx

b]

x

almenos un máximo y mínimo absolutos en [a,b]

[a

mín

PROPIEDADES de FUNCIONES CONTINUAS

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en un punto a:

a)

α·f(x) + β·g(x)

Si α , β son números reales la función resultante es continua en a.

b)

f(x) · g(x)

El producto es una función continua en a.

c)

f(x) / g(x)

Si g(a) ≠ 0, el cociente es una función continua en a.

LISTA de FUNCIONES CONTINUAS

Las siguientes funciones son continuas en su dominio :

f(x) = k

f(x) = xn

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = ex

f(x) = L x

f(x) = ax si a>0

COMPOSICIÓN de FUNCIONES CONTINUAS

Si f(x) es continua en "a" y g(x) es continua en b = f(a), f compuesta con g es continua en a.