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NOCIONES
TOPOLÓGICAS |
Rn |
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NOTACIÓN |
Representaremos en negrita i cursiva : |
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Punto |
x , y |
conjuntos ordenados de números reales : |
x= (x1,x2,···,xn) |
y= (y1,y2,···,yn) |
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Función |
f , g |
conjunto ordenado de funciones ………..: |
f= (f1, f2, ···, fn) |
g= (g1,g2,···,gn) |
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GENERALIZACIÓN DE
CONCEPTOS BÁSICOS |
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Distancia |
Distancia entre dos puntos x,y : |
d(x,y)
= ||x-y|| = [ Σ i (x i - yi)2 ]1/2 |
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Para n=1 valor absoluto d(x,y)=|x-y| , n=2
Pitágoras para (x-y) |
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Bola |
Bola abierta de centro p y radio ε > 0 : |
B(p,ε)
= { x / d(x,p) < ε} |
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Bola cerrada de centro p y radio ε > 0 : |
| B(p,ε) = { x / d(x,p) ≤ ε} |
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Para n=1 son Intervalos , n=2 son discos , n=3 son
esferas. |
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Entorno |
Entorno de p es todo conjunto que contiene una bola abierta de p, B(p,ε) |
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CLASIFICACIÓN DE UN PUNTO |
Sea p
un punto y C un conjunto de puntos |
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En los ejemplos |
C = (0,4) U (4,6] U {8} |
y el
complementario |
Cc = (-∞,0] U {4} U (6,8) U (8,∞) |
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| a) |
DEFINICIÓN CONCEPTUAL : |
Consideramos bolas centradas en p |
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p es |
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Definición |
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Ej. |
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Conjunto de puntos |
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Exterior |
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si una Bola
no tiene ningún punto de C. |
10 |
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Ext[C] |
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(-∞,0) U (6,8) U (8,∞) |
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Interior |
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si una Bola
tiene todos sus puntos de C. |
2 |
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(0,4) U (4,6) |
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Frontera |
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si toda Bola tiene
puntos de C y de Cc. |
8 |
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Fro[C] |
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{0,4,6,8} |
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Adherente |
|
si toda Bola tiene puntos de C |
6 |
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C' |
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[0,6] U {8} |
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Acumulación |
|
si toda Bola tiene puntos de C sin p. |
0 |
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[0,6] |
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Aislado |
|
si una Bola
tiene un punto de C y es p. |
8 |
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Ais[C] |
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{8} |
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| b) |
DEFINICIÓN POR CONJUNTOS : |
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p
es |
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Definición |
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Exterior |
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Si existe
ε >0 / B(p,ε)
intersección C = Ø |
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Interior |
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Si existe
ε >0 / B(p,ε)
contenido en C |
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Frontera |
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Cualquier ε >0 / B(p,ε) intersección C ≠ Ø y B(p,ε) intersección Cc ≠ Ø |
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Adherente |
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Cualquier ε >0 / B(p,ε) intersección C ≠ Ø |
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Acumulación |
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Si existe
ε >0 / B(p,ε)
- {p} intersección C
≠ Ø |
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Aislado |
|
Si existe
ε >0 / B(p,ε)
intersección C = {p} |
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CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS |
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C es |
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Definición |
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Ejemplo |
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Abierto |
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si C
= |
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La bola abierta es un conjunto abierto. |
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Cerrado |
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si C
= |
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La bola cerrada es un conjunto cerrado. |
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Acotado |
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si existe una B(0,r) que contiene a C. |
Cualquier bola es acotada. |
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Compacto |
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si es cerrado y acotado. |
Cualquier bola cerrada es compacta. |
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Observaciones: |
Un conjunto es cerrado si y solo si su
complementario es abierto. |
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Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. |
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Los conjuntos Ø y Rn son los únicos conjuntos abiertos y cerrados a la vez. |
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