EDO LINEALES con C.C.

EDO LINEAL con Coeficientes Constantes

y n) + p1 y n-1) + ··· + pn-1 y ' + pn y = g(x)

Ejemplo:

y ''' - y '' + y ' - y = x2 + x

Donde pk , desde k = 1 hasta n, son constantes cualesquiera y g(x) ≠ 0 una función cualquiera.

SOLUCIÓN GENERAL

Se obtiene sumando la solución de la "Homógenea Asociada" y una "Particular No homogénea"

Sea y la solución general e ya la de la asociada e yp la particular, esntonces :

y  =  ya + yp

SOLUCIÓN PARTICULAR de la No Homogenea

La solución particular yp la obtendremos solo en dos casos particulares dependiendo de la

forma del termino no homogeneo g(x).

SOLUCIÓN PARTICULAR si g(x) es un polinomio de grado k

yp = xs (Ak x k + Ak-1 x k-1 + ··· + A1 x + A0)

Si cero es raiz del polinomio caracteristico , s es la multiplicidad de cero.

Si cero no es raiz del polinomio caracteristico, s = 0.

Las constantes A se calculan sustituyendo la solución en la ecuación diferencial.

1)

Ejemplo:

y ''' - y '' + y ' - y = x2 + x

a)

Calcular la solución general de la homogenea asociada

y ''' - y '' + y ' - y = 0

Polinomio carac. de la homogenea :

y3 - y2 + y - 1 = 0

Raices car. :

1 , ± i

Solución general de la homogenea :

ya = c1ex + c2 cos x + c3 sen x

Como el Polinomio Caracteristico no tiene la raiz cero implica que s = 0

b)

Expresión de la solución particular de la no homogenea

Como g(x) es un polinomio de grado 2 y la multiplicidad de la raiz cero es 0, la solución

particular de la no homogenea es :

yp = A2 x2 + A1 x + A0

Calcular las constantes A de la solución particular :

y    = A2 x2 + A1 x + A0

1º) sustituimos en la ecuación diferencial:

- A2 = 1

y '  = 2A2 x + A1

0 - (2A2) + (2A2x + A1) - (A2x2 + A1x + A0) = x2 + x

2A2 - A1 = 1

y '' = 2A2

2º) Reordenamos los terminos según el grado de x:

A1 - A0 - 2A2 = 0

y '''= 0

- A2 x2 + (2A2 - A1) x + (A1 - A0 - 2A2) = x2 + x

Resolviendo el sistema nos da : A2 = -1 , A1 = -3 , A0 = -1

Solución particular de la no homogenea :

yp = - x2 - 3 x - 1

c)

Solución general de la no homogenea :

y  =  ya + yp

y = c1ex + c2 cos x + c3 sen x

-  x2 -  3 x - 1

SOLUCIÓN PARTICULAR si g(x) es eλx por un polinomio de grado k

y = xs eλx (Ak x k + Ak-1 x k-1 + ··· + A1 x + A0)

Si λ es raiz del polinomio caracteristico , s es la multiplicidad de λ.

Si λ no es raiz del polinomio caracteristico, s = 0.

Las constantes A se calculan sustituyendo la solución en la ecuación diferencial.