EDO LINEALES HOMOGENEAS con C.C.

EDO LINEAL HOMOGENEA con Coeficientes Constantes

y n) + p1 y n-1) + ··· + pn-1 y ' + pn y = 0

Ejemplo:

y''' + 2y'' - 3y ' + y = 0

Donde pk , desde k = 1 hasta n, son constantes cualesquiera.

POLINOMIO caracteristico

Se considera el orden de la derivada como grado de un polinomio y asi se transforma en el

polinomio :

y n + p1 y n-1 + ··· + pn-1 y + pn = 0

RAICES caracteristicas

Son las raices que se obtienen al factorizar el polinomio caracteristico :

y n + p1 y n-1 + ··· + pn-1 y + pn

=

(y - m1) (y - m2) ··· (y - mn-1) (y - mn)

Pueden aparecer raices reales simples o multiples y consideraremos solo las complejas simples,

las complejas siempre aparecen a pares conjugados de la forma  z = a ± bi  donde llamaremos,

z1 = a + bi  ;  z2 = a - bi

SOLUCIÓN GENERAL DE LA EDOH con CC

La solución se calcula sumando términos según el tipo de raiz en la que se puede factorizar.

TIPO

EXPRESION

TÉRMINOS para sumar a la  SOLUCIÓN

Real simple

(x - a)

c1 eax

Real múltiple

(x - b)n

n > 1

c1ebx

+

c2x ebx

+ ··· +

cn xn-1ebx

Compleja simple

(x-z1)

(x-z2)

z=a±bi

eax (c1 cos bx + c2 sen bx)

ó

c1eax sen (bx + c2)

ó

c1eax cos (bx + c2)

Compleja múltiple

(x - z)2

z=a±bi

eax(c1cos bx+c2sen bx) +

xeax(c3cos bx+c4sen bx)

Para n  misma forma que para la real múltiple

1)

Ejemplo:

y ''' - y '' - 4y ' + 4y = 0

Pol. car. :

y3 - y2 - 4y + 4

=

(y - 1) (y - 2) (y + 2)

Raices car. :

1 , 2 , -2

Solución :

y  =

c1ex

+

c2e2x

+

c3e-2x

2)

Ejemplo:

y ''' - 2y '' - 4y ' + 8y = 0

Pol. car. :

y3 - 2y2 - 4y + 8

=

(y - 2)2 (y + 2)

Raices car. :

2 , 2 , -2

Solución :

y  =

c1e2x

+

c2xe2x

+

c3e-2x

3)

Ejemplo:

y '' - 4y ' + 5y = 0

Pol. car. :

y2 - 4y + 5

=

(y - z1) (y - z2)

Raices car. :

z = 2 ± i

Solución :

y  =

e2x (c1 cos x + c2 sen x)

y  =

c1e2x sen (x + c2)

y  =

c1e2x cos (x + c2)

Cualquiera de las tres soluciones es valida. Tener en cuenta que el valor de las constantes

de mismo indice no tienen por que ser iguales en la tres soluciones.