EDO LINEALES de ORDEN 1

Lineales ..……………….:

y ' + f(x) · y = g(x)

Ejemplo:

y ' + xy = x

Donde  f(x) , g(x)  solo dependen de x, siendo funciones cualesquiera.

Lineal homogenea:

Son aquellas en las que g(x) = 0, es decir,

y ' + f(x) · y = 0

Lineal completa:

Son aquellas en las que g(x) ≠ 0, es decir,

y ' + f(x) · y = g(x)

SOLUCIÓN GENERAL

∫

g(x)

y(x) = ya(x) · G(x)

con   ya(x)   la solución de la homogenea asociada  y

G(x) =

dx

ya(x)

El cálculo se realiza en dos partes:

a) SOLUCIÓN de la HOMOGENEA asociada

y ' + f(x) y = 0

Se aplica el método de variables separadas.

y '

dy

dy

∫

dy

=∫

y ' = - f(x) y

;

=

- f(x)

;

=

- f(x)

;

=

- f(x) dx

;

- f(x) dx

y

y dx

y

y

L | y | = F(x)

;

ya= eF(x)

∫

g

∫

g(x)

b) CALCULO de G(x)

G(x) =

dx

=

dx

ya

eF(x)

Ejemplos:

1)

y ' -  y = ex / x

Solución :

f(x) = -1  ;  g(x) = ex / x

dy

dy

∫

dy

=∫

a) Homogenea:

y ' - y = 0

;

- y = 0 ;

= y  ;

dx

;  L |y| = x  ;

ya = ex

dx

dx

y

∫

g

∫

ex / x

∫

1

b) Calcular:

G(x) =

dx

=

dx

=

dx

=

L | x | + c

ya

ex

x

c) Solución:

y(x) = ya(x) · G(x)

;

y = ex (L | x | + c)

2)

xy ' + y - x2 = 0

con   y(1) = 2

Solución :

y ' + y/x - x = 0

;

y ' + y/x = x

;

donde   f(x) = 1/x  ;  g(x) = x

dy

- y

∫

dy

=∫

-dx

a) Homogenea:

y ' + y/x = 0

;

=

;

;

L |y| = - L |x|

;

ya = x-1

dx

x

y

x

∫

g

∫

x

∫

x 3

b) Calcular:

G(x) =

dx

=

dx

=

x2 dx

=

+ c

ya

x -1

3

c) Solución:

y(x) = ya(x) · G(x)

;

y = 1/x (x3/3 + c)

d) Particular:

y(1) = 1/1 (13/3 + c) = 2

;

1/3 + c = 2

;

c = 5/3

;

y = 1/x (x3/3 + 5/3)

3)

3y ' - 2xy = x

con   y(0) = -1

Solución :

y ' - 2/3 xy = x/3

;

donde   f(x) = -2/3x  ;  g(x) = x/3

dy

2

∫

dy

=∫

2

a) Homogenea:

y ' - 2/3 xy = 0

;

=

xy

;

x dx ;

L |y| = x2/3 ;

ya = e

x2/3

dx

3

y

3

∫

g

∫

x

-1

∫

b) Calcular:

G(x) =

dx

=

dx

=

- 2/3 x e

- x2/3

dx

=

-1/2 e

- x2/3

+ c

ya

3 e

x2/3

2

c) Solución:

y(x) = ya(x) · G(x)

;

y = e

x2/3

(-1/2 e

- x2/3

+ c)

;

y = -1/2 + c·e

x2/3

d) Particular:

y(0) = -1/2 + c·e

0

= -1

;

c = -1/2

;

y = -1/2 -1/2·e

x2/3