RENTA Geométrica Inmediata Temporal PrePagable

VALOR Actual

-

Las proyecciones de las n cuantías por contracapitalización forman una prog. geométrica.

an

C·qn-1(1+i)-(n-1)

···

as

C·qs-1(1+i)-(s-1)

···

C·q2·(1+i)-2

C·q·(1+i)-1

a1

C1 = C

C·q

C·q2

Cs=C·qs-1

Cn=C·qn-1

···

···

0

1

2

s-1

n-1

n

Sn = C + C·q·(1+i)-1 + C·q2·(1+i)-2 + ··· + C·qn-1(1+i)-(n-1) = ∑s1,n as = ∑s1,n C qs-1(1+i)-(s-1)

podemos sacar factor comun para reducir el cálculo de la suma de prog. geom. as,

Sn = C [ 1 + q (1+i)-1 + q2(1+i)-2 + ··· + qn-1(1+i)-(n-1) ] = C ∑s1,n a's = C S'n

-

( ··V0)n | i = C S'n = (1+i) C (1+i)-1 S'n = (1+i) A(C;q) n | i = ··A(C;q) n | i

VALOR Final

-

Las proyecciones de las n cuantías por capitalización forman una prog. geométrica.

C·(1+i)n

an

C·q·(1+i)n-1

C·q2(1+i)n-2

···

C·qs-1(1+i)n-(s-1)

as

···

C·qn-1(1+i)

a1

C1=C

C·q

C·q2

Cs=C·qs-1

Cn=C·qn-1

···

···

0

1

2

s-1

n-1

n

Sn = C·qn-1(1+i) + ··· + C·q·(1+i)n-1 + C·(1+i)n = ∑s1,n as = ∑s1,n C qs-1(1+i)n-(s-1)

podemos sacar factor comun para reducir el cálculo de la suma de prog. geom. as,

Sn = C (1+i)n [ qn-1(1+i)-(n-1) + ··· + q·(1+i)-1 + 1 ] = C (1+i)n ∑s1,n a's = C (1+i)n S'n

-

( ··Vn)n | i = (1+i)n C S'n = (1+i)n ··A(C;q) n | i = ··S(C;q) n | i

CASO PARTICULAR para q = 1+i

-

Cuando esto ocurre se tiene una indeterminación. Se deriva por L'Hôpital y se sustituye q.

··A(c;1+i) n | i

= lim

··A(c;q) n | i

= lim

(1+i) A(C;q) n | i

= (1+i) · C · n · (1+i)-1 = C · n

q → 1 +i

q → 1 +i

··S(c;1+i) n | i

= lim

··S(c;q) n| i

= lim

(1+i)n ··A(C;q) n | i

= (1+i)n · C · n = (1+i)n ··A(c;1+i) n | i

q → 1 +i

q → 1 +i