RENTA Geométrica Inmediata Temporal PostPagable

VALOR Actual

-

Las proyecciones de las n cuantías por contracapitalización forman una prog. geométrica.

an

C·qn-1(1+i)-n

C·qn-2(1+i)-(n-1)

···

as

C·qs-1(1+i)-s

···

C·q·(1+i)-2

a1

C·(1+i)-1

C1=C

C·q

Cs=C·qs-1

C·qn-2

Cn=C·qn-1

···

···

0

1

2

s

n-1

n

Sn = C·(1+i)-1 + C·q·(1+i)-2 + ··· + C·qn-1(1+i)-n = ∑s1,n as = ∑s1,n C qs-1(1+i)-s

podemos sacar factor comun para reducir el cálculo de la suma de prog. geom. as,

Sn = C (1+i)-1 [ 1 + q·(1+i)-1 + ··· + qn-1(1+i)-(n-1) ] =  C (1+i)-1 ∑s1,n a's = C (1+i)-1 S'n

a su vez a's forma una prog. geom. con, a'1 = 1 , r' = q·(1+i)-1  y el valor de la renta queda,

1 - [q·(1+i)-1]n

1 - qn(1+i)-n

C [1 - qn(1+i)-n]

( V0)n | i =

C (1+i)-1

=

C (1+i)-1

=

1 - q·(1+i)-1

(1+i-q) · (1+i)-1

1 + i - q

Es facil demostra que, 1 - q·(1+i)-1 = 1 - q / (1+i) = (1+i-q) / (1+i) = (1+i-q) (1+i)-1

-

( V0)n | i = C (1+i)-1 S'n = C [1 - qn(1+i)-n] / (1+i-q) = A(C;q) n | i

VALOR Final

-

Las proyecciones de las n cuantías por capitalización forman una prog. geométrica.

C·(1+i)n-1

an

C·q·(1+i)n-2

···

C·qs-1(1+i)n-s

as

···

C·qn-2(1+i)

C1=C

C·q

Cs=C·qs-1

C·qn-2

Cn=C·qn-1

a1

···

···

0

1

2

s

n-1

n

Sn = C·qn-1 + ··· + C·q·(1+i)n-2 + C·(1+i)n-1 = ∑s1,n as = ∑s1,n C qs-1 (1+i)n-s

podemos sacar factor comun para reducir el cálculo de la suma de prog. geom. as,

Sn = C (1+i)n-1 [ qn-1(1+i)-(n-1) + ··· + q·(1+i)-1 + 1 ] = C (1+i)-1 ∑s1,n a's = C (1+i)n-1 S'n

-

( Vn)n | i = (1+i)n C (1+i)-1 S'n = (1+i)n A(C;q) n | i = S(C;q) n | i

CASO PARTICULAR para q = 1+i

-

Cuando esto ocurre se tiene una indeterminación. Se deriva por L'Hôpital y se sustituye q.

C [1 - qn(1+i)-n]

C [ -nqn-1(1+i)-n]

A(c;1+i) n | i

= lim

A(c;q) n | i

= lim

= lim

= C · n · (1+i)-1

1 + i - q

-1

q → 1 +i

q → 1 +i

q → 1 +i

S(c;1+i) n | i

= lim

S(c;q) n | i

= C · n · (1+i)n-1 = (1+i)n A(c;1+i) n | i

q → 1 +i