RENTA

RENTA COMO SUCESIÓN

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Una renta se puede definir como una sucesión de cuantías que han de hacerse efectivos

en determinados vencimientos, es decir, una sucesión de capitales. Como ejemplos son :

La cuantía de una nómina con vencimiento a final de mes.

La cuantía de un alquiler con vencimiento a principio de mes.

La cuantía de una hipoteca con vencimiento a un mismo día cualquiera de cada mes.

DEFINICIÓN DE RENTA

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Sea D = {

(C1,τ1)

····

(Cn,τn)

} un conjunto de n capitales en un intervalo de tiempo I = [t0,tn]

sea P = {

[t0,t1]

····

(tn-1,tn]

} un conjunto de n subintervalos de I con, Ir = (tr-1,tr], además

P debe ser una partición de I, e.d., I = U r1,nIr  siendo, Ir ≠ Φ, e, Ir∩Ij = Φ, para, r ≠ j

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Definimos una renta como una aplicación biyectiva entre los conjuntos, D y P.

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Es decir, si es posible asociar a cada capital (Cr,τr) a un único intervalo (tr-1,tr] y a cada

intervalo a un único capital, supondremos siempre que el vencimiento τr € [tr-1,tr]

TERMINOLOGÍA para las RENTAS

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Términos de una renta :

Son cada uno de los capitales (Cr,τr) € D para r = 1,n

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Períodos de maduración :

Son cada uno de los intervalos (tr-1,tr] € P para r = 1,n

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Origen de la renta :

Es el extremo inferior, t0 , del intervalo I = [t0,tn]

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Final de la renta :

Es el extremo superior, tn , del intervalo I = [t0,tn]

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Duración de la renta :

Es la amplitud, tn - t0 , del intervalo I = [t0,tn]

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RENTA

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Sea D = {

(C1,τ1)

(C2,τ2)

····

(Cs,τs)

····

(Cn,τn)

} el conjunto de términos de la renta,

sea P = {

[t0,t1]

(t1,t2]

····

(ts-1,ts]

····

(tn-1,tn]

} el conjunto de sus períodos de maduración.

a)

Vencimiento cualquiera : El vencimiento es cualquier τs € (ts-1,ts]

(C1,τ1)

(C2,τ2)

(C3,τ3)

(Cs,τs)

(Cn,τn)

···

···

t0

t1

t2

t3

ts-1

ts

tn-1

tn

b)

Vencimiento por la dcha : El vencimiento τs = ts , los intervalos son  ( ts-1 , ts ]

(C1,τ1)

(C2,τ2)

(C3,τ3)

(Cs-1,τs-1)

(Cs,τs)

(Cn-1,τn-1)

(Cn,τn)

···

···

t0

t1

t2

t3

ts-1

ts

tn-1

tn

c)

Vencimiento por la izda : El vencimiento τs = ts-1 , los intervalos son  [ ts-1 , ts )

(C1,τ1)

(C2,τ2)

(C3,τ3)

(C4,τ4)

(Cs,τs)

(Cs+1,τs+1)

(Cn,τn)

···

···

t0

t1

t2

t3

ts-1

ts

tn-1

tn

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En lo sucesivo consideraremos solamente los supuesto, b ó c, en ellos una renta queda

definida al conocer los capitales, el origen y su final, porque P queda definido por los

vencimientos de las cuantías, pero algunas definiciones las daremos para el caso general.

En estas circunstancias representaremos las rentas, b), c), con los siguientes esquemas :

b)

C1

C2

C3

Cs-1

Cs

Cn-1

Cn

···

···

t0

t1

t2

t3

ts-1

ts

tn-1

tn

c)

C1

C2

C3

C4

Cs

Cs+1

Cn

···

···

t0

t1

t2

t3

ts-1

ts

tn-1

tn