UNIFICACIÓN de CAPITALES

(Suma de capitales)

UNIFICACIÓN en SDS Comercial

(Coincide con el resultado para SCS)

-

Para que (C,τ) sea el capital unificado de (C1,t1) y (C2,t2) con t1< t2 debe cumplirse que :

C·A(τ;p) = C1·A(t1;p) + C2·A(t2;p)  , para cualquier, p

-

Como la ley viene expresada por,  A(t ;p) = 1 - d·(t-p)  :

C·[1 - d·(τ-p) ] = C1·[1 - d·(t1-p) ] + C2·[1 - d·(t2-p) ]  , para cualquier, p

Agrupamos términos en, p, e independientes :

C·d·p + C - C·d·τ = (C1+C2)·d·p + C1 + C2 - d·(C1t1 + C2t2)  , para cualquier, p

Como la variable es, p, podemos igualar los coeficientes de los términos semejantes en, p.

Luego disponemos de dos ecuaciones con dos incógnitas (C, τ) que se puede resolver :

1ª)

Coeficientes de p :

C = C1+C2

2ª)

Tér. Indep.:

C - C·d·τ = C1 + C2 - d·(C1t1 + C2t2)    =>   C - C·d·τ = C - d·(C1t1 + C2t2)

=>

C·τ = C1t1 + C2t2

=>

τ = ( C1t1 + C2t2 ) / C

con,  t1 < τ < t2

-

Vencimiento medio para 2 capitales :

C = C1+C2

;

τ = ( C1t1 + C2t2 ) / C

;

t1 < τ < t2

-

Para un SDSC la suma de capitales es independiente de d, por lo que es valida para toda

las familia del SDSC.

-

Vencimiento medio para n capitales :

C = ∑s1,n Cs

;

τ = ( ∑s1,n Csts ) / C

;

t1 < τ < tn

UNIFICACIÓN en SD Compuesto

-

Si (C,τ) es el capital unificado de (C1,t1)···(Cn,tn) con t1< ··· < tn debe cumplirse que :

C·A(τ;p) = ∑s1,n Cs·A(ts;p)  , para cualquier, p.

-

Como la ley viene expresada por,  A(t ;p) =  (1-d)t - p  :

C·(1-d)τ-p = ∑s1,n Cs·(1-d) ts-p  , para cualquier, p.

-

Aplicamos propiedades de potencias y sacamos factor común y simplificamos :

C·(1-d)τ·(1-d)-p = (1-d)-p·∑s1,n Cs·(1-d)  ts

=>

C·(1-d)τ = ∑s1,n Cs·(1-d) ts

Es una ecuación con 2 variables (C, τ) con infinitas soluciones, ademas no depende de p :

-

Solución si fijamos τ = τ0 :

C·(1-d)τ0 = ∑s1,n Cs·(1-d) ts

, despejamos C,    =>

C = (1-d) - τ0 ·∑s1,n Cs·(1-d) ts

, aplicamos la propiedad distributiva,

=>

C = ∑s1,n Cs·(1-d) ts - τ0

-

Solución si fijamos, C = C0 :

C0·(1-d)τ = ∑s1,n Cs·(1-d) ts

, aplic. loge, =>

logeC0 + τ·loge(1-d) = loge∑s1,n Cs(1-d) ts

, despejando τ,   =>

τ = [ loge∑s1,n Cs(1-d) ts - logeC0] / loge(1-d)

con,  t1 < τ < tn

-

Para un SDC la suma de capitales depende de d por lo que cada SDC tendrá infinitas

soluciones diferentes a las infinitas de otro SDC.

-

Vencimiento medio para n cap. :

Elegimos el valor de C que iguale la suma de cuantías,

C = ∑s1,n Cs

;

τ = [ loge∑s1,n Cs(1-d) ts - logeC ] / loge(1-d)

;

t1 < τ < tn

-

Las soluciones para SDC coinciden con las obtenidas para SCC de parámetro i = d / (1-d).