UNIFICACIÓN de CAPITALES

(Suma de capitales)

UNIFICACIÓN EN BASE al SCS

-

Para que (C,τ) sea el capital unificado de (C1,t1) y (C2,t2) con t1< t2 debe cumplirse que :

C·L(τ;p) = C1·L(t1;p) + C2·L(t2;p)  , para cualquier, p

-

Como la ley viene expresada por,  L(t ;p) = 1+ i·(p-t)  :

C·[1+ i·(p-τ) ] = C1·[1+ i·(p-t1) ] + C2·[1+ i·(p-t2) ]  , para cualquier, p

-

Agrupamos términos en, p, e independientes :

C·i·p + C - C·i·τ = (C1+C2)·i·p + C1 + C2 - i·(C1t1 + C2t2)  , para cualquier, p

-

Como la variable es, p, podemos igualar los coeficientes de los términos semejantes en, p.

Luego disponemos de dos ecuaciones con dos incógnitas (C, τ) que se puede resolver :

1ª)

Coeficientes de p :

C = C1+C2

2ª)

Térs. Indep. :

C - C·i·τ = C1 + C2 - i·(C1t1 + C2t2)    =>   C - C·i·τ = C - i·(C1t1 + C2t2)

=>

C·τ = C1t1 + C2t2

=>

τ = ( C1t1 + C2t2 ) / C

con,  t1 < τ < t2

-

Vencimiento medio para 2 capitales :

C = C1+C2

;

τ = ( C1t1 + C2t2 ) / C

;

t1 < τ < t2

-

Para un SCS la suma de capitales es independiente de i, por lo que es valida para toda

las familia del SCS.

-

Vencimiento medio para n capitales :

C = ∑s1,n Cs

;

τ = ( ∑s1,n Csts ) / C

;

t1 < τ < tn

UNIFICACIÓN EN BASE al SCC

-

Para que (C,τ) sea el capital unificado de (C1,t1)···(Cn,tn) con t1<···< tn debe cumplirse que :

C·L(τ;p) = ∑s1,n Cs·L(ts;p)  , para cualquier, p.

-

Como la ley viene expresada por,  L(t ;p) =  (1+i)p - t  :

C·(1+i)p - τ = ∑s1,n Cs·(1+i)p - ts  , para cualquier, p.

-

Aplicamos propiedades de potencias y sacamos factor común y simplificamos :

C·(1+i)p·(1+i) - τ = (1+i)p·∑s1,n Cs·(1+i) - ts

=>

C·(1+i) - τ = ∑s1,n Cs·(1+i) - ts

Es una ecuación con 2 variables (C, τ) con infinitas soluciones, ademas no depende de p :

-

Solución si fijamos, τ = τ0 :

C·(1+i) - τ0 = ∑s1,n Cs·(1+i) - ts

, despejamos C,    =>

C = (1+i) τ0 ·∑s1,n Cs·(1+i) - ts

, aplicamos la propiedad distributiva,

=>

C = ∑s1,n Cs·(1+i)τ0 - ts

-

Solución si fijamos, C = C0 :

C0·(1+i) - τ = ∑s1,n Cs·(1+i) - ts

, aplic. loge, =>

logeC0 - τ·loge(1+i) = loge∑s1,n Cs(1+i) - ts

, despejando τ,   =>

τ = [ logeC0 - loge∑s1,n Cs(1+i) - ts ] / loge(1+i)

con,  t1 < τ < tn

-

Para un SCC la suma de capitales depende de i por lo que cada SCC tendrá infinitas

soluciones diferentes a las infinitas de otro SCC.

-

Vencimiento medio para n cap. :

Elegimos el valor de C que iguale la suma de cuantías,

C = ∑s1,n Cs

;

τ = [ logeC - loge∑s1,n Cs(1+i) - ts ] / loge(1+i)

;

t1 < τ < tn