SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTOS

(SCC)

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Son sistemas cuya ley tiene la expresión :

L(t; p) = e k (p - t)

con  p > t ; k > 0

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Como, ek>1, sustituimos, ek = 1 + i, luego :

L(t; p) = (1+i) p - t

con  p > t ; i > 0

el valor de k se obtiene como, k = loge(1+i)

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Aplicando el cambio, z = p - t, obtenemos :

L(z) = ek·z = (1+i)z

con  z, i > 0

FAMILIA DE SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTO

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Es el conjunto de sistemas financieros que se obtienen al variar k para, L(t; p) = e k (p - t)

Ejemplo 1: Para un SCC con k = 0,08, tenemos la expresión L(z) = e0,08·z

como i = e0,08-1 = 0,0832871, luego también tiene la expresión, L(z) = 1,0832871z

Ejemplo 2: Para un SCC con i = 0,1, tenemos la expresión L(z) = (1+ 0,1)z

como k = loge (1,1) = 0,0953102, luego también tiene la expresión, L(z) = e0.0953102·z

Constantes dimensionadas k,i : Veamos como cambia su valor al cambiar el tiempo,

1)

Cambiamos la unidad de medida del tiempo, t' = t·m, luego también, p' = p·m

Para k :

ek ' (p ' - t ') = ek (p - t)

2)

Sabemos que L(t',p') = L(t,p)

Para i :

(1+ i' ) p ' - t ' = (1+ i ) p - t

Para k :

k '·(p·m-t·m) = k·(p-t) ; k '·m·(p-t) = k·(p-t) ; k '·m = k ; k' = k/m

3)

Despejando

Para i :

(1+i')p·m-t·m = (1+i)p - t ; (1+i')m (p-t) = (1+i)p - t ; (1+i')m = (1+i)

Para k :

k ' = k / m

4)

Luego si t' = t · m las nuevas constantes son

Para i :

i' = (1+i)1/m-1

= i(m)

Ejemplo 3: Cambiar un SCC de la forma ek·z expresado en años a semestres y trimestres.

SCC expresado en años con k = 0,08 al año:

L(z) = e0,08 ·z

Como, 2 semestres = 1 año, tenemos el cambio, z' = z·2, luego k ' = k/2 = 0,04

SCS expresado en semestres con k ' = 0,04 al semestre : L(z') = e0,04 ·z'

Como, 4 trimestres = 1 año, tenemos el cambio, z'' = z·4, luego k '' = k/4 = 0,02

SCC expresado en trimestres con k '' = 0,02 al trimestre : L(z'') = e0,02 ·z''

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Ejerc. 1: Expresar en trimestre y cuatrimestre el SCC L(z) = e0,24·z dado en semestres.

Ejemplo 4: Cambiar un SCS de la forma (1+i)z expresado en años a semestres y trimes.

SCC expresado en años con i = 0,1 al año:

L(z) = 1,1 z

Como 2 semest = 1 año, tenemos el cambio, z' = z·2  luego, i' = (1+i)1/2-1 = 0,0488089

SCC expresado en semestres con i' = 0,0488089 al semestre : L(z') = 1,0488089 z'

Como, 4 trimest. = 1 año, tenemos el cambio, z'' = z·4 luego, i'' = (1+i)1/4-1 = 0,0241137

SCC expresado en trimestres con i'' = 0,0241137 al trimestre : L(z'') = 1,0241137 z''

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Ejerc. 2: Expresar en trimestre y cuatrimestre el SCC L(z) = 1,2 z dado en semestres.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA de un SCC

y

L(z) = (1+i)z = ek z

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La función L(z) = (1+i)z = ekz es exponencial de base >1

y exponente positivo.

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Como el dominio es z>0 representa una semicurva que

(0,1)

empieza en (0,1) y creciente en el 1er cuadrante.

z