ESPACIO VECTORIAL FINANCIERO

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En E hemos introducido una relación de equivalencia y de orden, para completar el modelo

matemático es necesario definir dos operaciones que son, suma de capitales y el producto

de un capital por un número, que definen a E con estructura de espacio vectorial.

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Para ello fijamos un ley financiera V = Proyp (C,t) = C·F(t,p), en ella se define las dos,

sean

V1 = Proyp (C1, t1) = C1 F(t1, p)

y

V2 = Proyp (C2, t2) = C2 F(t2, p)

SUMA de CAPITALES FINANCIEROS

Suma de capitales

(S,τ)

Vs

(S',τ' )

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Es un ley de composición interna de E x E → E

V2

(C2,t2)

sea, Vs = Proyp (S, τ) = S F(τ, p)

(C1,t1)

V1

Definición : (C1,t1) + (C2,t2) = (S,τ)  si  V1 + V2 = VS

Conclusión : C1 F(t1.p) + C2 F(t2,p) = S F(τ,p)

t1

τ

p

t2

F(t1.p)

F(t2.p)

tenemos que cualquier (S',τ') ~p (S,τ) y se

-

Despejando S(τ) =

C1

+

C2

F(τ,p)

F(τ,p)

debe fijar S, ó, τ para  determinar el otro.

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Suma para n capitales : (C1,t1)+(C2,t2)+ ·· +(Cn,tn) = (S,τ)  si

∑

n

Cs F(ts;p) = S F(τ;p)

s=1

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{E , +}  Tiene estructura de Semigrupo Conmutativo, ya que cumple :

1)

Conmutativa :

(C1,t1) + (C2,t2) = (C2,t2) + (C1,t1)

2)

Asociativa :

[ (C1,t1) + (C2,t2) ] + (C3,t3) = (C1,t1) + [ (C2,t2) + (C3,t3) ]

3)

Elemento neutro :

(C1,t1) + (0, t) = (C1,t1)

PRODUCTO de CAPITALES FINANCIEROS por un NÚMERO.

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Es un ley de composición externa de E x R+ → E

Producto por un número

Definición: α · (C1,t1) = (C2,t2) si y solo si α ·V1=V2 , α € R+

α·C1

α·C1t2

V2=α·V1

Por  la ley unitaria: α · C1 F(t1.p) = C2 F(t2,p) despejando C2,

(C2,t2)

F(t1.p)

tenemos que, C2 = α · C1

= α · C1t2   de donde

F(t2,p)

C1

C1t2

F(t1.p)

V1

C1t2 = C1

resultando que ,    (C1t2, t2) ~p (C1,t1)

(C1,t1)

F(t2,p)

t1

t2

p

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Propiedades :

1)

Distributiva respecto de la suma en E:

α · [ (C1,t1) + (C2,t2) ] = α · (C1,t1) + α · (C2,t2)

2)

Distributiva respecto de la suma en R+:

(α+β ) · (C, t)  = α · (C, t)  +  β · (C, t)

3)

Elemento unidad en R+:

1 · (C, t)  = (C, t)

CAPITALES DE CUANTÍA NEGATIVA

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Podemos ampliar el espacio E con capitales negativos, llamado Ē, de la siguiente forma :

Capital positivo o acreedor : Es el capital que se tiene derecho a percibir.

Capital negativo o deudor : Es el capital que se tiene obligación de pagar.

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{Ē , +}  Tiene estructura de Grupo Abeliano Conmutativo, ya que ademas tiene

elemento simétrico:

(C,t) + (-C, t) = (0,t)

ESPACIO VECTORIAL FINANCIERO

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{Ē,+,· }  Tiene estructura de Espacio Vectorial, ya que podemos extender la ley de

composición externa a Ē x R → Ē

definiendo α · (±C, t) = (± α · C, t) con α € R